Номер 1257, страница 236 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Амплитуда гармонических колебаний, $A = 30$ мм

Период колебаний, $T = 4,0$ с

Перевод в систему СИ:

$A = 30 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,03 \text{ м}$

Найти:

Наибольшее значение модуля скорости, $v_{max}$

Наибольшее значение модуля ускорения, $a_{max}$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний для смещения $x$ материальной точки от положения равновесия можно записать в виде:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Скорость $v$ точки является первой производной от смещения по времени:

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Максимальное значение модуля скорости (амплитуда скорости) $v_{max}$ достигается, когда $|\sin(\omega t + \phi_0)| = 1$:

$v_{max} = A\omega$

Ускорение $a$ точки является второй производной от смещения по времени (или первой производной от скорости):

$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$

Максимальное значение модуля ускорения (амплитуда ускорения) $a_{max}$ достигается, когда $|\cos(\omega t + \phi_0)| = 1$:

$a_{max} = A\omega^2$

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Вычислим циклическую частоту, используя данные из условия задачи:

$\omega = \frac{2\pi}{4,0 \text{ с}} = \frac{\pi}{2}$ рад/с

Теперь можем рассчитать искомые величины.

Наибольшее значение модуля скорости:

$v_{max} = A \cdot \omega = 0,03 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ рад/с} = 0,015\pi \text{ м/с} \approx 0,0471 \text{ м/с}$

Наибольшее значение модуля ускорения:

$a_{max} = A \cdot \omega^2 = 0,03 \text{ м} \cdot \left(\frac{\pi}{2} \text{ рад/с}\right)^2 = 0,03 \cdot \frac{\pi^2}{4} \text{ м/с}^2 \approx 0,0740 \text{ м/с}^2$

Округлим результаты до двух значащих цифр, так как исходные данные ($A=30$ мм, $T=4,0$ с) имеют две значащие цифры.

Ответ: наибольшее значение модуля скорости $v_{max} \approx 0,047$ м/с; наибольшее значение модуля ускорения $a_{max} \approx 0,074$ м/с$^2$.