Номер 1347, страница 252 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Электроемкость первого конденсатора: $C_1$
Начальное напряжение на первом конденсаторе: $U$
Электроемкость второго конденсатора: $C_2$
Начальный заряд второго конденсатора: $q_{2,0} = 0$
Индуктивность катушки: $L$

Найти:

Максимальное значение силы тока в катушке: $I_{max}$

Решение:

Согласно схеме, конденсатор $C_1$ соединен параллельно с последовательной цепью из конденсатора $C_2$ и катушки индуктивности $L$. В начальный момент времени (до замыкания ключа K) вся энергия системы сосредоточена в электрическом поле заряженного конденсатора $C_1$. Начальная энергия системы равна:
$W_0 = \frac{C_1 U^2}{2}$
Конденсатор $C_2$ не заряжен, и ток в катушке отсутствует, поэтому их начальная энергия равна нулю.

После замыкания ключа K в цепи возникают электромагнитные колебания. Поскольку цепь идеальная (без активного сопротивления), полная электромагнитная энергия сохраняется. В любой момент времени $t$ она равна начальной энергии:
$W = W_{E1}(t) + W_{E2}(t) + W_M(t) = \frac{q_1(t)^2}{2C_1} + \frac{q_2(t)^2}{2C_2} + \frac{L I(t)^2}{2} = W_0$
Здесь $q_1(t)$ и $q_2(t)$ - заряды на конденсаторах $C_1$ и $C_2$, а $I(t)$ - ток в катушке.

Максимальное значение силы тока $I_{max}$ в катушке будет достигнуто, когда энергия магнитного поля $W_M = \frac{L I^2}{2}$ максимальна. Согласно закону сохранения энергии, это произойдет, когда суммарная энергия электрического поля на конденсаторах $W_E = W_{E1} + W_{E2}$ будет минимальна.

Найдем состояние системы, соответствующее максимальному току. Обкладки конденсаторов $C_1$ и $C_2$, соединенные с одним и тем же узлом, образуют изолированную систему. Поэтому суммарный заряд на них сохраняется. Пусть в начальный момент на верхней обкладке $C_1$ был заряд $+C_1U$, а на верхней обкладке $C_2$ - заряд 0. Тогда в любой момент времени:
$q_1(t) + q_2(t) = C_1 U$
Ток в катушке достигает максимума, когда его производная по времени равна нулю: $dI/dt=0$. Напряжение на катушке $U_L = L (dI/dt)$, следовательно, в этот момент $U_L=0$.
Согласно второму правилу Кирхгофа для контура, включающего оба конденсатора и катушку: $U_1(t) = U_2(t) + U_L(t)$. При $U_L=0$ получаем, что напряжения на конденсаторах равны: $U_1 = U_2$.
$\frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_2}$
Используя это условие и закон сохранения заряда, найдем заряды $q_1$ и $q_2$ в момент максимального тока:
$q_1 = q_2 \frac{C_1}{C_2}$
$q_2 \frac{C_1}{C_2} + q_2 = C_1 U \implies q_2 \left(\frac{C_1+C_2}{C_2}\right) = C_1 U \implies q_2 = \frac{C_1 C_2 U}{C_1+C_2}$
$q_1 = \frac{C_1}{C_2} q_2 = \frac{C_1^2 U}{C_1+C_2}$

Теперь можно найти минимальную энергию электрического поля, которая будет в системе в момент максимального тока:
$W_{E,min} = \frac{q_1^2}{2C_1} + \frac{q_2^2}{2C_2} = \frac{1}{2C_1}\left(\frac{C_1^2 U}{C_1+C_2}\right)^2 + \frac{1}{2C_2}\left(\frac{C_1 C_2 U}{C_1+C_2}\right)^2$
$W_{E,min} = \frac{C_1^3 U^2}{2(C_1+C_2)^2} + \frac{C_1^2 C_2 U^2}{2(C_1+C_2)^2} = \frac{C_1^2 U^2(C_1+C_2)}{2(C_1+C_2)^2} = \frac{C_1^2 U^2}{2(C_1+C_2)}$

Применим закон сохранения энергии. Начальная энергия системы равна энергии в момент максимального тока:
$W_0 = W_{E,min} + W_{M,max}$
$\frac{C_1 U^2}{2} = \frac{C_1^2 U^2}{2(C_1+C_2)} + \frac{L I_{max}^2}{2}$
Выразим максимальную энергию магнитного поля:
$\frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{C_1 U^2}{2} - \frac{C_1^2 U^2}{2(C_1+C_2)} = \frac{C_1 U^2 (C_1+C_2) - C_1^2 U^2}{2(C_1+C_2)}$
$\frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{C_1^2 U^2 + C_1 C_2 U^2 - C_1^2 U^2}{2(C_1+C_2)} = \frac{C_1 C_2 U^2}{2(C_1+C_2)}$
Отсюда находим максимальную силу тока $I_{max}$:
$I_{max}^2 = \frac{C_1 C_2 U^2}{L(C_1+C_2)}$
$I_{max} = U \sqrt{\frac{C_1 C_2}{L(C_1+C_2)}}$

Ответ: $I_{max} = U \sqrt{\frac{C_1 C_2}{L(C_1+C_2)}}$