Номер 1373, страница 255 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q_{max} = 1,0 \text{ мкКл}$
$I_{max} = 10 \text{ А}$
$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

$q_{max} = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$\lambda$

Решение:

В колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания. Заряд на конденсаторе $q$ и сила тока в катушке $I$ изменяются со временем. Если заряд изменяется по закону $q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$, где $q_{max}$ - максимальный заряд (амплитуда заряда), а $\omega$ - циклическая частота колебаний.

Сила тока в контуре является первой производной заряда по времени:
$I(t) = q'(t) = (q_{max} \cos(\omega t))' = -q_{max}\omega \sin(\omega t)$.

Из этого выражения видно, что амплитудное (максимальное) значение силы тока $I_{max}$ связано с амплитудой заряда $q_{max}$ и циклической частотой $\omega$ следующим соотношением:
$I_{max} = q_{max}\omega$.

Отсюда мы можем выразить циклическую частоту колебаний в контуре:
$\omega = \frac{I_{max}}{q_{max}}$.

Колебательный контур излучает электромагнитную волну, частота которой совпадает с частотой собственных колебаний контура. Длина волны $\lambda$ связана с периодом колебаний $T$ и скоростью света $c$ по формуле $\lambda = cT$. Период, в свою очередь, выражается через циклическую частоту как $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Таким образом, формула для расчета длины волны имеет вид:
$\lambda = c \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi c}{\omega}$.

Подставим в эту формулу найденное ранее выражение для циклической частоты $\omega$:
$\lambda = \frac{2\pi c}{I_{max} / q_{max}} = \frac{2\pi c q_{max}}{I_{max}}$.

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ и произведем вычисления:
$\lambda = \frac{2\pi \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл})}{10 \text{ А}} = \frac{6\pi \cdot 10^2}{10} \text{ м} = 60\pi \text{ м}$.

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:
$\lambda \approx 60 \cdot 3,14 \text{ м} = 188,4 \text{ м}$.

Исходные данные представлены с двумя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр:
$\lambda \approx 190 \text{ м}$.

Ответ: $\lambda = 60\pi \text{ м} \approx 190 \text{ м}$.