Номер 303, страница 62 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса груза, $m = 0,20 \text{ т}$

Угол между цепью CB и вертикалью, $\alpha = 135°$

Угол между стрелой AB и вертикалью, $\beta = 15°$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Перевод в систему СИ:

$m = 0,20 \cdot 1000 \text{ кг} = 200 \text{ кг}$

Найти:

Модуль силы упругости в цепи, $F_1 - ?$

Модуль силы упругости в стреле, $F_2 - ?$

Решение:

Рассмотрим точку B, к которой приложены все силы. Так как система находится в равновесии, векторная сумма всех сил, действующих на эту точку, равна нулю. К точке B приложены три силы:

1. Сила тяжести груза $\vec{P}$, направленная вертикально вниз. Ее модуль $P = mg$.

2. Сила натяжения цепи $\vec{F_1}$, направленная вдоль цепи от точки B к точке C.

3. Сила упругости (сжатия) стрелы $\vec{F_2}$, которую стрела оказывает на точку B. Так как груз тянет стрелу вниз, а цепь — влево и вверх, стрела испытывает сжатие и, следовательно, давит на точку B, выталкивая ее. Эта сила направлена вдоль стрелы от A к B.

Условие равновесия для точки B можно записать в виде: $\vec{P} + \vec{F_1} + \vec{F_2} = 0$.

Так как к точке приложены три силы, для решения задачи удобно использовать теорему Лами, которая гласит, что если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, уравновешивают друг друга, то отношение модуля каждой силы к синусу противолежащего ей угла является величиной постоянной:

$\frac{P}{\sin\gamma_{12}} = \frac{F_1}{\sin\gamma_{P2}} = \frac{F_2}{\sin\gamma_{P1}}$

где $\gamma_{12}$ — угол между силами $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, $\gamma_{P2}$ — угол между силами $\vec{P}$ и $\vec{F_2}$, а $\gamma_{P1}$ — угол между силами $\vec{P}$ и $\vec{F_1}$.

Найдем эти углы. Вертикальная линия, проходящая через точки A и C, является опорной.

1. Угол между силой тяжести $\vec{P}$ (направленной вертикально вниз) и силой натяжения цепи $\vec{F_1}$. По условию, угол между цепью и вертикалью равен 135°. Так как сила $\vec{P}$ направлена по вертикали вниз, то угол между ними $\gamma_{P1} = 135°$.

2. Угол между силой тяжести $\vec{P}$ и силой упругости стрелы $\vec{F_2}$. Сила $\vec{F_2}$ направлена от A к B и составляет угол 15° с вертикалью (вверх). Следовательно, угол между вектором $\vec{P}$ (вниз) и вектором $\vec{F_2}$ (вверх и вправо) равен $\gamma_{P2} = 180° - 15° = 165°$.

3. Угол между силой $\vec{F_1}$ и силой $\vec{F_2}$. Сила $\vec{F_1}$ составляет с вертикалью (вверх) угол $180° - 135° = 45°$. Сила $\vec{F_2}$ составляет с той же вертикалью (вверх) угол 15°. Так как силы направлены по разные стороны от вертикали (одна влево-вверх, другая вправо-вверх), угол между ними равен сумме этих углов: $\gamma_{12} = 45° + 15° = 60°$.

Теперь подставим найденные углы в формулу теоремы Лами:

$\frac{P}{\sin 60°} = \frac{F_1}{\sin 165°} = \frac{F_2}{\sin 135°}$

Сначала вычислим модуль силы тяжести:

$P = mg = 200 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 1960 \text{ Н}$

Теперь найдем искомые силы $F_1$ и $F_2$.

Из пропорции находим $F_1$:

$F_1 = P \cdot \frac{\sin 165°}{\sin 60°} = P \cdot \frac{\sin(180° - 15°)}{\sin 60°} = P \cdot \frac{\sin 15°}{\sin 60°}$

$F_1 \approx 1960 \text{ Н} \cdot \frac{0,2588}{0,8660} \approx 585,7 \text{ Н}$

Аналогично находим $F_2$:

$F_2 = P \cdot \frac{\sin 135°}{\sin 60°} = P \cdot \frac{\sin(180° - 45°)}{\sin 60°} = P \cdot \frac{\sin 45°}{\sin 60°}$

$F_2 = 1960 \text{ Н} \cdot \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2} = 1960 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 1960 \text{ Н} \cdot 0,8165 \approx 1600,3 \text{ Н}$

Округлим полученные значения с учетом точности исходных данных (две значащие цифры в массе 0,20 т).

$F_1 \approx 590 \text{ Н}$

$F_2 \approx 1600 \text{ Н} = 1,6 \text{ кН}$

Ответ: Модуль силы упругости в цепи $F_1 \approx 590 \text{ Н}$; модуль силы упругости в стреле $F_2 \approx 1,6 \text{ кН}$.