Номер 310, страница 63 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина стержня, $l = 2,0 \text{ м}$

Масса стержня, $m = 4,0 \text{ кг}$

Сила слева, $F_1 = 20 \text{ Н}$

Сила справа, $F_2 = 0,10 \text{ кН}$

Переведем все величины в систему СИ:

$F_2 = 0,10 \text{ кН} = 0,10 \cdot 10^3 \text{ Н} = 100 \text{ Н}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Расстояние от правого конца до точки опоры, $x$ - ?

Решение:

Для того чтобы стержень находился в равновесии в горизонтальном положении, необходимо выполнить условие равновесия рычага: алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на стержень относительно точки опоры, должна быть равна нулю.

На стержень действуют три вертикальные силы, направленные вниз (предполагаем, что силы приложены таким образом):

1. Сила $F_1$ на левом конце.

2. Сила $F_2$ на правом конце.

3. Сила тяжести стержня $P$, которая приложена к его центру масс. Поскольку стержень однородный, его центр масс находится посередине, на расстоянии $l/2$ от каждого конца.

Рассчитаем силу тяжести стержня:

$P = m \cdot g = 4,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 40 \text{ Н}$

Центр масс находится на расстоянии $l/2 = 2,0 \text{ м} / 2 = 1,0 \text{ м}$ от правого конца.

Пусть точка опоры находится на искомом расстоянии $x$ от правого конца. Выберем эту точку в качестве оси вращения. Момент силы определяется как произведение модуля силы на её плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Запишем правило моментов. Сумма моментов сил, вращающих стержень по часовой стрелке, должна быть равна сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки.

$M_{по\_часовой} = M_{против\_часовой}$

Определим плечи сил и направления создаваемых ими моментов относительно точки опоры:

1. Сила $F_2$ приложена на расстоянии $x$ от опоры и стремится повернуть стержень против часовой стрелки. Её момент $M_2 = F_2 \cdot x$.

2. Сила $F_1$ приложена на левом конце, на расстоянии $(l - x)$ от опоры, и стремится повернуть стержень по часовой стрелке. Её момент $M_1 = F_1 \cdot (l - x)$.

3. Сила тяжести $P$ приложена в центре стержня. Поскольку сила $F_2$ (100 Н) значительно больше суммы сил $F_1$ (20 Н) и $P$ (40 Н), точка опоры должна находиться ближе к правому концу, то есть между центром стержня и правым концом ($x < l/2$). В этом случае сила тяжести $P$ также будет вращать стержень по часовой стрелке. Плечо силы тяжести равно $(l/2 - x)$. Её момент $M_P = P \cdot (l/2 - x)$.

Теперь запишем уравнение моментов:

$F_1 \cdot (l - x) + P \cdot (l/2 - x) = F_2 \cdot x$

Подставим числовые значения в уравнение:

$20 \cdot (2,0 - x) + 40 \cdot (1,0 - x) = 100 \cdot x$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$40 - 20x + 40 - 40x = 100x$

$80 - 60x = 100x$

$80 = 100x + 60x$

$80 = 160x$

$x = \frac{80}{160} = 0,5 \text{ м}$

Полученное значение $x = 0,5$ м согласуется с нашим предположением, что опора находится между центром стержня и правым концом ($0,5 \text{ м} < 1,0 \text{ м}$).

Ответ: Стержень следует подпереть на расстоянии 0,5 м от правого конца.