Номер 312, страница 64 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 16 \text{ м}$

$m = 2,1 \text{ т} = 2100 \text{ кг}$

$l_1 = 4,0 \text{ м}$

$l_2 = 2,0 \text{ м}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$F_1, F_2$

Решение:

Труба является однородной, поэтому ее центр масс находится посередине, на расстоянии $l/2 = 16/2 = 8$ м от каждого конца. Сила тяжести $P = mg$ приложена к центру масс.

Вес трубы: $P = mg = 2100 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 20580 \text{ Н}$.

Опоры расположены на расстояниях $l_1$ и $l_2$ от концов. Пусть первая опора (О1) находится на расстоянии $l_1 = 4,0$ м от первого конца, а вторая опора (О2) — на расстоянии $l_2 = 2,0$ м от второго конца.

1. Нахождение силы $F_1$ для поднятия первого конца

Чтобы приподнять первый конец трубы (тот, что на расстоянии $l_1$ от опоры О1), нужно приложить к нему вертикальную силу $F_1$. В момент отрыва труба будет вращаться вокруг второй опоры (О2), которая станет осью вращения. Условие равновесия — равенство моментов сил, вращающих трубу по часовой и против часовой стрелки относительно оси вращения.

Ось вращения — точка О2. Расстояние от второго конца до опоры О2 равно $l_2 = 2,0$ м. Расстояние от первого конца до опоры О2 (плечо силы $F_1$) равно $d_1 = l - l_2 = 16 \text{ м} - 2,0 \text{ м} = 14 \text{ м}$.

Центр масс находится на расстоянии $l/2 = 8$ м от первого конца. Расстояние от центра масс до оси вращения О2 (плечо силы тяжести) равно $d_g_1 = d_1 - l/2 = 14 \text{ м} - 8 \text{ м} = 6 \text{ м}$.

Запишем уравнение моментов сил относительно опоры О2:

$M_1 = M_P$

$F_1 \cdot d_1 = P \cdot d_g_1$

$F_1 \cdot (l - l_2) = mg \cdot (l - l_2 - l/2)$

Отсюда выразим силу $F_1$:

$F_1 = \frac{mg \cdot (l - l_2 - l/2)}{l - l_2} = \frac{20580 \text{ Н} \cdot 6 \text{ м}}{14 \text{ м}} = \frac{123480 \text{ Н} \cdot \text{м}}{14 \text{ м}} = 8820 \text{ Н} \approx 8,8 \text{ кН}$.

Ответ: $F_1 = 8820 \text{ Н}$.

2. Нахождение силы $F_2$ для поднятия второго конца

Чтобы приподнять второй конец трубы (тот, что на расстоянии $l_2$ от опоры О2), нужно приложить к нему силу $F_2$. В этом случае осью вращения станет первая опора (О1).

Ось вращения — точка О1. Расстояние от первого конца до опоры О1 равно $l_1 = 4,0$ м. Расстояние от второго конца до опоры О1 (плечо силы $F_2$) равно $d_2 = l - l_1 = 16 \text{ м} - 4,0 \text{ м} = 12 \text{ м}$.

Расстояние от центра масс до оси вращения О1 (плечо силы тяжести) равно $d_g_2 = l/2 - l_1 = 8 \text{ м} - 4 \text{ м} = 4 \text{ м}$.

Запишем уравнение моментов сил относительно опоры О1:

$M_2 = M_P$

$F_2 \cdot d_2 = P \cdot d_g_2$

$F_2 \cdot (l - l_1) = mg \cdot (l/2 - l_1)$

Отсюда выразим силу $F_2$:

$F_2 = \frac{mg \cdot (l/2 - l_1)}{l - l_1} = \frac{20580 \text{ Н} \cdot 4 \text{ м}}{12 \text{ м}} = \frac{82320 \text{ Н} \cdot \text{м}}{12 \text{ м}} = 6860 \text{ Н} \approx 6,9 \text{ кН}$.

Ответ: $F_2 = 6860 \text{ Н}$.