Номер 316, страница 64 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Коэффициент трения лестницы о стену, $\mu_1 = 0.40$

Коэффициент трения лестницы о поверхность Земли, $\mu_2 = 0.50$

Найти:

Наименьший угол $\alpha$, который лестница может образовывать с горизонтом, не соскальзывая.

Решение:

Рассмотрим однородную лестницу длиной $L$ и массой $m$, находящуюся в равновесии. На лестницу действуют следующие силы:

• Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс лестницы (ее середине).
• Сила нормальной реакции опоры со стороны земли $N_2$, направленная вертикально вверх.
• Сила трения покоя со стороны земли $F_{f2}$, направленная горизонтально к стене, так как лестница стремится соскользнуть от стены.
• Сила нормальной реакции опоры со стороны стены $N_1$, направленная горизонтально от стены.
• Сила трения покоя со стороны стены $F_{f1}$, направленная вертикально вверх, так как лестница стремится соскользнуть вниз.

Для того чтобы лестница находилась в равновесии, должны выполняться два условия: сумма всех сил, действующих на лестницу, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю.

Наименьшему углу $\alpha$ соответствует предельное состояние равновесия, когда силы трения достигают своих максимальных значений:

$F_{f1} = \mu_1 N_1$

$F_{f2} = \mu_2 N_2$

1. Условие равновесия сил (сумма проекций всех сил на оси X и Y равна нулю):

Ось X (горизонтальная): $N_1 - F_{f2} = 0 \implies N_1 = F_{f2} = \mu_2 N_2$

Ось Y (вертикальная): $N_2 + F_{f1} - mg = 0 \implies N_2 + \mu_1 N_1 = mg$

2. Условие равновесия моментов. Запишем уравнение моментов сил относительно точки касания лестницы с землей (точка A). Это удобно, так как моменты сил $N_2$ и $F_{f2}$ будут равны нулю.

Момент силы тяжести $mg$ вращает лестницу по часовой стрелке (примем за отрицательное направление):

$\tau_{mg} = -mg \cdot \frac{L}{2} \cos(\alpha)$

Момент силы реакции стены $N_1$ вращает лестницу против часовой стрелки (положительное направление):

$\tau_{N1} = N_1 \cdot L \sin(\alpha)$

Момент силы трения о стену $F_{f1}$ вращает лестницу против часовой стрелки (положительное направление):

$\tau_{Ff1} = F_{f1} \cdot L \cos(\alpha) = \mu_1 N_1 L \cos(\alpha)$

Сумма моментов равна нулю:

$\sum \tau_A = N_1 L \sin(\alpha) + \mu_1 N_1 L \cos(\alpha) - mg \frac{L}{2} \cos(\alpha) = 0$

Сократим на $L$:

$N_1 \sin(\alpha) + \mu_1 N_1 \cos(\alpha) = \frac{mg}{2} \cos(\alpha)$

Теперь решим систему уравнений. Из уравнения для сил выразим $mg$ через $N_1$.

Из $N_1 = \mu_2 N_2$ следует, что $N_2 = \frac{N_1}{\mu_2}$.

Подставим это в уравнение для вертикальных сил:

$\frac{N_1}{\mu_2} + \mu_1 N_1 = mg \implies mg = N_1 \left( \frac{1}{\mu_2} + \mu_1 \right) = N_1 \frac{1 + \mu_1 \mu_2}{\mu_2}$

Теперь подставим полученное выражение для $mg$ в уравнение моментов:

$N_1 (\sin(\alpha) + \mu_1 \cos(\alpha)) = \frac{1}{2} \left( N_1 \frac{1 + \mu_1 \mu_2}{\mu_2} \right) \cos(\alpha)$

Сократим на $N_1$ (так как $N_1 \neq 0$):

$\sin(\alpha) + \mu_1 \cos(\alpha) = \frac{1 + \mu_1 \mu_2}{2\mu_2} \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $\cos(\alpha)$ (при $\alpha \neq 90^\circ$):

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \mu_1 = \frac{1 + \mu_1 \mu_2}{2\mu_2}$

$\tan(\alpha) + \mu_1 = \frac{1 + \mu_1 \mu_2}{2\mu_2}$

Выразим $\tan(\alpha)$:

$\tan(\alpha) = \frac{1 + \mu_1 \mu_2}{2\mu_2} - \mu_1 = \frac{1 + \mu_1 \mu_2 - 2\mu_1 \mu_2}{2\mu_2} = \frac{1 - \mu_1 \mu_2}{2\mu_2}$

Подставим числовые значения:

$\tan(\alpha) = \frac{1 - 0.40 \cdot 0.50}{2 \cdot 0.50} = \frac{1 - 0.20}{1.0} = 0.8$

$\alpha = \arctan(0.8) \approx 38.66^\circ$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем $\alpha \approx 39^\circ$.

Ответ: Наименьший угол, который лестница может образовывать с горизонтом, составляет примерно $39^\circ$.