Номер 34, страница 15 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Скорость течения воды $v_т = 2,0 \frac{км}{ч}$

Отношение времени первой поездки ко второй $n = \frac{t_1}{t_2} = 1,1$

Равенство расстояний $S_{AB} = S_{AC} = S$

$v_т = 2,0 \frac{км}{ч} = 2,0 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{2,0}{3,6} \frac{м}{с} = \frac{5}{9} \frac{м}{с}$

Найти:

Модуль скорости лодки относительно воды $v$

Решение:

Определим время, затраченное на первую поездку (из пункта А в В и обратно). Эта поездка происходит вдоль берега. Пусть расстояние от А до В равно $S$.

При движении по течению (из А в В) скорость лодки относительно берега равна $v + v_т$.

При движении против течения (из В в А) скорость лодки относительно берега равна $v - v_т$.

Общее время первой поездки $t_1$ равно сумме времени движения по течению и против течения:

$t_1 = \frac{S}{v + v_т} + \frac{S}{v - v_т} = \frac{S(v - v_т) + S(v + v_т)}{(v + v_т)(v - v_т)} = \frac{2Sv}{v^2 - v_т^2}$

Определим время, затраченное на вторую поездку (из пункта А в С и обратно). Эта поездка происходит поперек реки. Расстояние от А до С также равно $S$.

Чтобы двигаться строго перпендикулярно берегу, лодка должна держать курс под некоторым углом против течения. Скорость лодки относительно берега $v_{берег}$ находится по теореме Пифагора из векторов скорости лодки относительно воды $v$ (гипотенуза) и скорости течения $v_т$ (катет):

$v^2 = v_{берег}^2 + v_т^2$

Отсюда скорость лодки относительно берега при движении поперек реки:

$v_{берег} = \sqrt{v^2 - v_т^2}$

Эта скорость одинакова как при движении от А к С, так и обратно. Общее время второй поездки $t_2$ равно:

$t_2 = \frac{S}{v_{берег}} + \frac{S}{v_{берег}} = \frac{2S}{\sqrt{v^2 - v_т^2}}$

По условию задачи, $t_1 = n \cdot t_2$. Подставим полученные выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{2Sv}{v^2 - v_т^2} = n \cdot \frac{2S}{\sqrt{v^2 - v_т^2}}$

Сократим обе части уравнения на $2S$ (поскольку $S \neq 0$):

$\frac{v}{v^2 - v_т^2} = \frac{n}{\sqrt{v^2 - v_т^2}}$

Учитывая, что $v^2 - v_т^2 = (\sqrt{v^2 - v_т^2})^2$, можем упростить выражение:

$\frac{v}{\sqrt{v^2 - v_т^2}} = n$

Выразим отсюда $v$:

$v = n \sqrt{v^2 - v_т^2}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$v^2 = n^2 (v^2 - v_т^2)$

$v^2 = n^2 v^2 - n^2 v_т^2$

$n^2 v_т^2 = n^2 v^2 - v^2$

$n^2 v_т^2 = v^2 (n^2 - 1)$

$v^2 = \frac{n^2 v_т^2}{n^2 - 1}$

$v = \sqrt{\frac{n^2 v_т^2}{n^2 - 1}} = \frac{n \cdot v_т}{\sqrt{n^2 - 1}}$

Подставим числовые значения из условия:

$v = \frac{1,1 \cdot 2,0 \frac{км}{ч}}{\sqrt{1,1^2 - 1}} = \frac{2,2 \frac{км}{ч}}{\sqrt{1,21 - 1}} = \frac{2,2 \frac{км}{ч}}{\sqrt{0,21}} \approx \frac{2,2 \frac{км}{ч}}{0,4583} \approx 4,799... \frac{км}{ч}$

С учетом значащих цифр (два знака), получаем $v \approx 4,8 \frac{км}{ч}$.

Ответ: модуль скорости лодки относительно воды равен $4,8 \frac{км}{ч}$.