Номер 340, страница 67 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Площадь поперечного сечения на уровне ватерлинии, $S = 1,20 \cdot 10^3 \text{ м}^2$

Уменьшение глубины осадки, $\Delta h = 15,0 \text{ см}$

Плотность морской воды, $\rho_2 = 1,03 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Плотность речной воды, $\rho_1 = 1,00 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$\Delta h = 15,0 \text{ см} = 0,150 \text{ м}$

$\rho_2 = 1,03 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1,03 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_1 = 1,00 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1,00 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Модуль веса парохода с грузом, $P$

Решение:

По условию плавания тела, его вес $P$ уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_A$. Таким образом, $P = F_A$.

Сила Архимеда вычисляется по формуле $F_A = \rho \cdot g \cdot V_{погр}$, где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{погр}$ — объем погруженной части тела.

Когда пароход находится в реке, его вес уравновешивается силой Архимеда со стороны речной воды:

$P = F_{A1} = \rho_1 g V_1$

где $V_1$ — объем погруженной части парохода в реке.

Когда пароход находится в море, его вес уравновешивается силой Архимеда со стороны морской воды:

$P = F_{A2} = \rho_2 g V_2$

где $V_2$ — объем погруженной части парохода в море.

Так как вес парохода $P$ остается неизменным, можно приравнять выражения для сил Архимеда:

$\rho_1 g V_1 = \rho_2 g V_2 \implies \rho_1 V_1 = \rho_2 V_2$

Предполагая, что борта парохода вблизи ватерлинии вертикальны, объем погруженной части можно выразить как произведение площади поперечного сечения $S$ на глубину осадки $h$. Тогда $V_1 = S h_1$ и $V_2 = S h_2$, где $h_1$ и $h_2$ — глубина осадки в реке и море соответственно.

Подставив это в предыдущее равенство, получим:

$\rho_1 S h_1 = \rho_2 S h_2 \implies \rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$

Из условия задачи известно, что при переходе из реки в море глубина осадки уменьшается на $\Delta h = h_1 - h_2$. Отсюда можно выразить $h_1 = h_2 + \Delta h$. Подставим это выражение в уравнение выше:

$\rho_1 (h_2 + \Delta h) = \rho_2 h_2$

$\rho_1 h_2 + \rho_1 \Delta h = \rho_2 h_2$

$\rho_1 \Delta h = h_2 (\rho_2 - \rho_1)$

Из этого уравнения можно найти глубину осадки в море $h_2$:

$h_2 = \frac{\rho_1 \Delta h}{\rho_2 - \rho_1}$

Теперь, зная $h_2$, найдем вес парохода по формуле для силы Архимеда в море:

$P = \rho_2 g S h_2 = \rho_2 g S \frac{\rho_1 \Delta h}{\rho_2 - \rho_1} = \frac{\rho_1 \rho_2 g S \Delta h}{\rho_2 - \rho_1}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$P = \frac{(1,00 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot (1,03 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (1,20 \cdot 10^3 \text{ м}^2) \cdot 0,150 \text{ м}}{(1,03 \cdot 10^3 - 1,00 \cdot 10^3) \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}$

$P = \frac{1,00 \cdot 1,03 \cdot 9,8 \cdot 1,20 \cdot 0,150 \cdot 10^9}{0,03 \cdot 10^3} \text{ Н}$

$P = \frac{1,81692}{0,03} \cdot 10^6 \text{ Н} \approx 60,564 \cdot 10^6 \text{ Н}$

Округляя результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных, получаем:

$P \approx 6,06 \cdot 10^7 \text{ Н}$

Ответ: $P \approx 6,06 \cdot 10^7 \text{ Н}$.