Номер 345, страница 68 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Плотность железа: $ \rho_ж $

Плотность ртути: $ \rho_{рт} $

Плотность воды: $ \rho_в $

Сплошной железный куб плавает, полностью погрузившись на границе воды и ртути.

Найти:

Часть объема в воде $ \frac{V_в}{V} $

Часть объема в ртути $ \frac{V_{рт}}{V} $

Решение:

Поскольку куб плавает в равновесии, сила тяжести, действующая на него, уравновешена суммой выталкивающих сил (сил Архимеда) со стороны воды и ртути. Запишем условие равновесия в проекции на вертикальную ось:

$ F_т = F_{А,в} + F_{А,рт} $

Сила тяжести определяется как $ F_т = m_к g = \rho_ж V g $, где $ V $ – полный объем куба, $ \rho_ж $ – плотность железа, а $ g $ - ускорение свободного падения.

Выталкивающая сила со стороны воды равна $ F_{А,в} = \rho_в g V_в $, где $ V_в $ – объем части куба, погруженной в воду, а $ \rho_в $ – плотность воды.

Выталкивающая сила со стороны ртути равна $ F_{А,рт} = \rho_{рт} g V_{рт} $, где $ V_{рт} $ – объем части куба, погруженной в ртуть, а $ \rho_{рт} $ – плотность ртути.

Подставим эти выражения в условие равновесия:

$ \rho_ж V g = \rho_в g V_в + \rho_{рт} g V_{рт} $

Сократив обе части уравнения на $ g $, получаем:

$ \rho_ж V = \rho_в V_в + \rho_{рт} V_{рт} $ (1)

По условию, куб полностью погружен в жидкость, следовательно, сумма объемов его частей в воде и ртути равна его полному объему:

$ V = V_в + V_{рт} $ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными объемами $ V_в $ и $ V_{рт} $. Решим эту систему, чтобы найти искомые отношения.

Для нахождения доли объема в воде $ \frac{V_в}{V} $, выразим $ V_{рт} $ из уравнения (2): $ V_{рт} = V - V_в $. Подставим это выражение в уравнение (1):

$ \rho_ж V = \rho_в V_в + \rho_{рт} (V - V_в) $

$ \rho_ж V = \rho_в V_в + \rho_{рт} V - \rho_{рт} V_в $

Сгруппируем члены с $ V_в $ и $ V $:

$ \rho_{рт} V_в - \rho_в V_в = \rho_{рт} V - \rho_ж V $

$ V_в (\rho_{рт} - \rho_в) = V (\rho_{рт} - \rho_ж) $

Отсюда находим искомое отношение:

$ \frac{V_в}{V} = \frac{\rho_{рт} - \rho_ж}{\rho_{рт} - \rho_в} $

Для нахождения доли объема в ртути $ \frac{V_{рт}}{V} $, выразим $ V_в $ из уравнения (2): $ V_в = V - V_{рт} $. Подставим это выражение в уравнение (1):

$ \rho_ж V = \rho_в (V - V_{рт}) + \rho_{рт} V_{рт} $

$ \rho_ж V = \rho_в V - \rho_в V_{рт} + \rho_{рт} V_{рт} $

Сгруппируем члены с $ V_{рт} $ и $ V $:

$ V_{рт} (\rho_{рт} - \rho_в) = V (\rho_ж - \rho_в) $

Отсюда находим искомое отношение:

$ \frac{V_{рт}}{V} = \frac{\rho_ж - \rho_в}{\rho_{рт} - \rho_в} $

Какая часть объема куба находится в воде $ \frac{V_в}{V} $

Часть объема куба, находящаяся в воде, определяется соотношением плотностей железа, ртути и воды.

Ответ: $ \frac{V_в}{V} = \frac{\rho_{рт} - \rho_ж}{\rho_{рт} - \rho_в} $

и какая — в ртути $ \frac{V_{рт}}{V} $?

Часть объема куба, находящаяся в ртути, также определяется соотношением плотностей.

Ответ: $ \frac{V_{рт}}{V} = \frac{\rho_ж - \rho_в}{\rho_{рт} - \rho_в} $