Номер 683, страница 126 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Жидкость 1 - вода (высота подъема $h_1$)

Жидкость 2 - керосин (высота подъема $h_2$)

Радиусы капилляров одинаковы: $r_1 = r_2 = r$

Температуры одинаковы: $T_1 = T_2 = T$

Для решения задачи используем табличные значения физических величин при стандартных условиях (T ≈ 20°C) в системе СИ:

Коэффициент поверхностного натяжения воды: $\sigma_1 = 73 \cdot 10^{-3}$ Н/м

Плотность воды: $\rho_1 = 1000$ кг/м³

Коэффициент поверхностного натяжения керосина: $\sigma_2 = 24 \cdot 10^{-3}$ Н/м

Плотность керосина: $\rho_2 = 800$ кг/м³

Найти:

Отношение высот подъема $\frac{h_1}{h_2}$.

Решение:

Высота подъема жидкости в капилляре определяется формулой Жюрена:

$h = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, $\theta$ — краевой угол смачивания, $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $r$ — радиус капилляра.

Запишем эту формулу для воды (индекс 1) и керосина (индекс 2):

$h_1 = \frac{2\sigma_1 \cos\theta_1}{\rho_1 g r}$

$h_2 = \frac{2\sigma_2 \cos\theta_2}{\rho_2 g r}$

По условию задачи радиусы капилляров $r$ одинаковы, а ускорение свободного падения $g$ является константой.

Найдем отношение высот $h_1$ и $h_2$, разделив одно уравнение на другое:

$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\frac{2\sigma_1 \cos\theta_1}{\rho_1 g r}}{\frac{2\sigma_2 \cos\theta_2}{\rho_2 g r}}$

Сократив общие множители ($2$, $g$, $r$), получим:

$\frac{h_1}{h_2} = \frac{\sigma_1 \cos\theta_1}{\rho_1} \cdot \frac{\rho_2}{\sigma_2 \cos\theta_2} = \frac{\sigma_1 \rho_2 \cos\theta_1}{\sigma_2 \rho_1 \cos\theta_2}$

И вода, и керосин хорошо смачивают чистое стекло, поэтому можно считать, что имеет место полное смачивание. В этом случае краевые углы $\theta_1$ и $\theta_2$ близки к нулю, а их косинусы равны единице: $\cos\theta_1 \approx \cos(0^\circ) = 1$ и $\cos\theta_2 \approx \cos(0^\circ) = 1$.

С учетом этого, формула для отношения высот упрощается:

$\frac{h_1}{h_2} \approx \frac{\sigma_1 \rho_2}{\sigma_2 \rho_1}$

Подставим табличные значения в полученное выражение:

$\frac{h_1}{h_2} = \frac{73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м} \cdot 800 \text{ кг/м³}}{24 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м} \cdot 1000 \text{ кг/м³}} = \frac{73 \cdot 800}{24 \cdot 1000} = \frac{73 \cdot 8}{24 \cdot 10} = \frac{73}{3 \cdot 10} = \frac{73}{30}$

$\frac{h_1}{h_2} \approx 2.43$

Ответ: отношение высот подъемов воды и керосина составляет примерно 2.43.