Номер 688, страница 127 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d = 2,0 \text{ мм}$

$\Delta t_1 = 1,0 \text{ с}$

$m = 10 \text{ г}$

$\sigma = 22 \frac{\text{мН}}{\text{м}}$

В системе СИ:

$d = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$m = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$

$\sigma = 22 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Капля спирта отрывается от трубки в тот момент, когда сила тяжести, действующая на нее, становится равной силе поверхностного натяжения, которая удерживает каплю у края трубки.

Сила тяжести, действующая на одну каплю массой $m_0$, определяется по формуле:

$F_g = m_0 g$

где $g$ – ускорение свободного падения, принимаемое равным $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Сила поверхностного натяжения действует вдоль линии соприкосновения жидкости с краями трубки. Длина этой линии $L$ равна длине окружности внутреннего сечения трубки, так как по условию диаметр шейки капли равен внутреннему диаметру трубки $d$:

$L = \pi d$

Тогда сила поверхностного натяжения равна:

$F_{\sigma} = \sigma L = \sigma \pi d$

В момент отрыва капли эти две силы равны:

$F_g = F_{\sigma}$

$m_0 g = \sigma \pi d$

Из этого равенства можно выразить массу одной капли:

$m_0 = \frac{\sigma \pi d}{g}$

Чтобы из сосуда вытекла общая масса спирта $m$, должно оторваться $N$ капель. Общее число капель можно найти как отношение общей массы к массе одной капли:

$N = \frac{m}{m_0} = \frac{m}{\frac{\sigma \pi d}{g}} = \frac{m g}{\sigma \pi d}$

По условию, капли отрываются через промежуток времени $\Delta t_1$ одна после другой. Следовательно, общее время $\Delta t$, за которое вытечет $N$ капель, можно найти по формуле:

$\Delta t = N \cdot \Delta t_1$

Подставим выражение для $N$ и получим итоговую расчетную формулу:

$\Delta t = \frac{m g}{\sigma \pi d} \cdot \Delta t_1$

Выполним вычисления, подставив числовые значения в системе СИ (примем $\pi \approx 3,14$):

$\Delta t = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{22 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 3,14 \cdot 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \cdot 1,0 \text{ с} = \frac{0,098}{138,16 \cdot 10^{-6}} \text{ с} \approx 709,3 \text{ с}$

Исходные данные в задаче ($d=2,0$ мм, $\Delta t_1=1,0$ с, $m=10$ г, $\sigma=22$ мН/м) даны с двумя значащими цифрами. Поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр:

$\Delta t \approx 7,1 \cdot 10^2 \text{ с} = 710 \text{ с}$

Ответ: $\Delta t \approx 710 \text{ с}$.