Номер 869, страница 161 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус одинаковых капель масла: $R = 82$ мкм

Заряды капель одинаковы и одноименны: $q_1 = q_2 = q$

Сила кулоновского отталкивания $F_e$ уравновешивает силу гравитационного притяжения $F_g$.

Плотность масла $\rho$ (не дана в условии, примем стандартное значение для масла $\rho \approx 900$ кг/м³).

Константы:

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$R = 82 \text{ мкм} = 82 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

$q$

Решение:

По условию задачи, сила кулоновского отталкивания $F_e$ между двумя каплями масла уравновешивает силу их гравитационного притяжения $F_g$. Запишем это в виде равенства:

$F_e = F_g$

Сила кулоновского отталкивания для двух одинаковых зарядов $q$, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга, определяется законом Кулона:

$F_e = k \frac{q^2}{r^2}$

Сила гравитационного притяжения для двух одинаковых масс $m$, находящихся на том же расстоянии $r$, определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{m^2}{r^2}$

Приравнивая выражения для сил, получаем:

$k \frac{q^2}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2}$

Расстояние $r$ между каплями сокращается, так как оно присутствует в знаменателях обеих частей уравнения. Мы можем выразить искомый заряд $q$:

$k q^2 = G m^2$

$q^2 = \frac{G}{k} m^2$

$q = \sqrt{\frac{G}{k} m^2} = m \sqrt{\frac{G}{k}}$

Массу капли $m$ можно найти через ее объем $V$ и плотность $\rho$. Поскольку капля имеет сферическую форму, ее объем равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Тогда масса:

$m = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим это выражение для массы в формулу для заряда:

$q = \left( \rho \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \sqrt{\frac{G}{k}}$

Теперь подставим все известные числовые значения в систему СИ и произведем вычисления.

Вычислим массу капли:

$m = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \frac{4}{3}\pi (82 \cdot 10^{-6} \text{ м})^3 \approx 900 \cdot \frac{4}{3} \cdot 3.1416 \cdot (5.514 \cdot 10^{-16} \text{ м}^3) \approx 2.08 \cdot 10^{-9} \text{ кг}$

Вычислим заряд капли:

$q \approx (2.08 \cdot 10^{-9} \text{ кг}) \cdot \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2}{9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2}}$

$q \approx (2.08 \cdot 10^{-9} \text{ кг}) \cdot \sqrt{7.41 \cdot 10^{-21} \frac{\text{Кл}^2}{\text{кг}^2}}$

$q \approx (2.08 \cdot 10^{-9} \text{ кг}) \cdot (8.61 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}) \approx 1.79 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Ответ: $q \approx 1.79 \cdot 10^{-19}$ Кл.