Номер 874, страница 162 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q_1 = q_2 = q$
$q_3 = q_4 = -q$
$a = 8,0 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$
$q_0 = 4,4 \text{ нКл} = 4,4 \times 10^{-9} \text{ Кл}$
$F = 0,14 \text{ мН} = 1,4 \times 10^{-4} \text{ Н}$
$k = 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$q_1$

Решение:

На заряд $q_0$, помещенный в центр квадрата, действуют силы со стороны четырех зарядов, расположенных в вершинах квадрата. Результирующая сила $\vec{F}$ является векторной суммой этих четырех сил: $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4$.

Расстояние от каждого заряда в вершине до центра квадрата одинаково и равно половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, расстояние $r$ от каждого заряда до центра равно:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Квадрат этого расстояния: $r^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Поскольку по модулю все заряды в вершинах равны ($|q_1| = |q_2| = |q_3| = |q_4| = |q|$), то и модули сил, действующих на заряд $q_0$, будут одинаковы. По закону Кулона модуль каждой из сил равен:

$F_i = k \frac{|q_i| |q_0|}{r^2} = k \frac{|q| q_0}{a^2/2} = \frac{2k|q|q_0}{a^2}$

Проанализируем направления сил. Заряд $q_0$ положительный.

• Силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ (от положительных зарядов $q_1$ и $q_2$) являются силами отталкивания.
• Силы $\vec{F}_3$ и $\vec{F}_4$ (от отрицательных зарядов $q_3$ и $q_4$) являются силами притяжения.

Сила $\vec{F}_1$ направлена от $q_1$ к $q_3$. Сила $\vec{F}_3$ направлена от $q_0$ к $q_3$. Таким образом, векторы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_3$ сонаправлены. Их суммарный вектор $\vec{F}_{13}$ имеет модуль $F_{13} = F_1 + F_3 = 2F_i$.

Аналогично, сила $\vec{F}_2$ направлена от $q_2$ к $q_4$. Сила $\vec{F}_4$ направлена от $q_0$ к $q_4$. Векторы $\vec{F}_2$ и $\vec{F}_4$ также сонаправлены. Их суммарный вектор $\vec{F}_{24}$ имеет модуль $F_{24} = F_2 + F_4 = 2F_i$.

Векторы $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{24}$ направлены вдоль диагоналей квадрата и перпендикулярны друг другу. Модуль результирующей силы $F$ найдем по теореме Пифагора:

$F = \sqrt{F_{13}^2 + F_{24}^2} = \sqrt{(2F_i)^2 + (2F_i)^2} = \sqrt{2 \cdot (2F_i)^2} = 2F_i\sqrt{2}$

Подставим выражение для $F_i$:

$F = 2\sqrt{2} \cdot \left(\frac{2k|q|q_0}{a^2}\right) = \frac{4\sqrt{2}k|q|q_0}{a^2}$

Выразим из этой формулы модуль заряда $|q|$:

$|q| = \frac{F a^2}{4\sqrt{2}k q_0}$

Подставим числовые значения:

$|q| = \frac{1,4 \cdot 10^{-4} \cdot (0,08)^2}{4\sqrt{2} \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 4,4 \cdot 10^{-9}} = \frac{1,4 \cdot 10^{-4} \cdot 0,0064}{4\sqrt{2} \cdot 39,6} = \frac{8,96 \cdot 10^{-7}}{158,4\sqrt{2}} \approx \frac{8,96 \cdot 10^{-7}}{224} \approx 4,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Так как по условию $q_1 = q$, и на рисунке заряд $q_1$ обозначен как положительный, то $q_1 = 4,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$, или 4,0 нКл.

Ответ: $q_1 = 4,0 \text{ нКл}$.