Номер 129, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

129. Точки P, Q и R выбраны соответственно на ребре SB пирамиды SABC, в грани SAC и в плоскости ABC (рис. 57). Учитывая, что луч CR пересекает отрезок AB, сделайте в тетради соответствующий рисунок и постройте линию пересечения плоскости PQR с плоскостью:

а) SBQ;

б) ABC;

в) SBC.

Для решения задачи сначала выполним построение согласно условию. Построим пирамиду SABC. Отметим точку P на ребре SB, точку Q в грани SAC (внутри треугольника SAC) и точку R в плоскости основания ABC. Условие "луч CR пересекает отрезок AB" определяет положение точки R. Отметим на отрезке AB точку M и проведем через C и M луч, на котором за точкой M расположим точку R. Таким образом, точки A, B, C, P, Q, R и S расположены в соответствии с условием задачи.

Теперь построим линии пересечения плоскости PQR с указанными плоскостями.

а) SBQ;

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей (PQR) и (SBQ), необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.
1. Точка Q по условию лежит в грани SAC, а плоскость SBQ проходит через точки S, B, Q. Следовательно, точка Q принадлежит обеим плоскостям: $Q \in (PQR)$ и $Q \in (SBQ)$.
2. Точка P по условию лежит на ребре SB. Ребро SB является частью плоскости SBQ. Следовательно, точка P принадлежит обеим плоскостям: $P \in (PQR)$ и $P \in (SBQ)$.
Поскольку обе точки P и Q принадлежат обеим плоскостям, линия их пересечения - это прямая PQ.

Ответ: Прямая PQ.

б) ABC;

Линия пересечения плоскости (PQR) с плоскостью основания (ABC) называется следом плоскости (PQR) на плоскости (ABC). Для ее построения найдем две точки, принадлежащие обеим плоскостям.
1. Точка R по условию лежит в плоскости ABC и принадлежит плоскости PQR. Таким образом, R - первая общая точка.
2. Чтобы найти вторую общую точку, найдем точку пересечения какой-либо прямой, лежащей в плоскости (PQR), с плоскостью (ABC). Возьмем прямую PQ. Для нахождения точки пересечения прямой PQ с плоскостью ABC используем вспомогательную плоскость.
а. Прямая PQ лежит в плоскости (SBD), где D - точка пересечения прямой SQ с прямой AC ($D = SQ \cap AC$). Так как Q лежит в грани SAC, то прямая SQ также лежит в этой плоскости, и ее пересечение с AC (ребром той же грани) корректно.
б. Плоскость (SBD) пересекает плоскость основания (ABC) по прямой BD.
в. Точка пересечения прямой PQ с плоскостью (ABC) должна лежать на линии пересечения плоскости (SBD) с плоскостью (ABC), то есть на прямой BD. Обозначим эту точку X. Таким образом, $X = PQ \cap BD$.
3. Точка X принадлежит прямой PQ, а значит и плоскости (PQR). Точка X принадлежит прямой BD, а значит и плоскости (ABC). Следовательно, X - вторая общая точка.
Линия пересечения плоскостей (PQR) и (ABC) проходит через точки R и X.

Ответ: Прямая RX, где D - точка пересечения прямой SQ с прямой AC, а X - точка пересечения прямой PQ с прямой BD.

в) SBC;

Найдем линию пересечения плоскостей (PQR) и (SBC).
1. Точка P по условию лежит на ребре SB. Ребро SB принадлежит грани SBC. Следовательно, точка P принадлежит обеим плоскостям: $P \in (PQR)$ и $P \in (SBC)$. P - первая общая точка.
2. Чтобы найти вторую общую точку, воспользуемся следом плоскости (PQR) на плоскости (ABC), который мы построили в пункте б) - это прямая RX. Эта прямая целиком лежит в плоскости (PQR). Найдем ее точку пересечения с плоскостью (SBC).
а. Точка пересечения прямой RX с плоскостью (SBC) должна лежать на линии пересечения плоскости, в которой лежит RX (это плоскость ABC), с плоскостью (SBC).
б. Линией пересечения плоскостей (ABC) и (SBC) является прямая BC.
в. Следовательно, искомая точка является точкой пересечения прямой RX и прямой BC. Обозначим эту точку Y. Таким образом, $Y = RX \cap BC$.
3. Точка Y принадлежит прямой RX, а значит и плоскости (PQR). Точка Y принадлежит прямой BC, а значит и плоскости (SBC). Следовательно, Y - вторая общая точка.
Линия пересечения плоскостей (PQR) и (SBC) проходит через точки P и Y.

Ответ: Прямая PY, где Y - точка пересечения прямой BC со следом плоскости PQR на плоскости ABC (прямой RX из пункта б).