Номер 131, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

131. Изобразите в тетради пирамиду $SABCD$ и постройте след плоскости:

а) $SAC$ на плоскости $SBD$;

б) $SAB$ на плоскости $SCD$;

в) $SBC$ на плоскости $SAD$.

Сначала изобразим произвольную четырехугольную пирамиду $SABCD$. В основании лежит четырехугольник $ABCD$, $S$ — вершина пирамиды. Далее построим следы (линии пересечения) плоскостей.

а) SAC на плоскости SBD;

Следом плоскости $SAC$ на плоскости $SBD$ является прямая, по которой эти плоскости пересекаются. Для построения этой прямой необходимо найти две общие точки этих плоскостей.

1. Точка $S$ является вершиной пирамиды и принадлежит обеим плоскостям по определению, так как она входит в их названия: $S \in (SAC)$ и $S \in (SBD)$. Следовательно, $S$ — первая общая точка.

2. Найдем вторую общую точку. Плоскость $SAC$ проходит через прямую $AC$, а плоскость $SBD$ — через прямую $BD$. Обе эти прямые лежат в плоскости основания $ABCD$. Пусть диагонали основания $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AC$, то $O$ принадлежит плоскости $SAC$ ($O \in (SAC)$).

Поскольку точка $O$ лежит на прямой $BD$, то $O$ принадлежит плоскости $SBD$ ($O \in (SBD)$).

Следовательно, точка $O$ — вторая общая точка плоскостей $SAC$ и $SBD$.

3. Проведя прямую через две общие точки $S$ и $O$, мы получим искомую линию пересечения — прямую $SO$. Эта прямая и является следом плоскости $SAC$ на плоскости $SBD$.

Ответ: Прямая $SO$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания.

б) SAB на плоскости SCD;

Найдем линию пересечения плоскостей $SAB$ и $SCD$.

1. Точка $S$ является общей для обеих плоскостей: $S \in (SAB)$ и $S \in (SCD)$.

2. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые $AB$ и $CD$, лежащие в плоскости основания $ABCD$. В общем случае четырехугольника эти прямые не параллельны.

Так как прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости $(ABCD)$ и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке. Назовем ее $P$. Для построения нужно продолжить отрезки $AB$ и $CD$ до их пересечения.

Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$, то $P$ принадлежит плоскости $SAB$ ($P \in (SAB)$).

Так как точка $P$ лежит на прямой $CD$, то $P$ принадлежит плоскости $SCD$ ($P \in (SCD)$).

Следовательно, точка $P$ — вторая общая точка плоскостей $SAB$ и $SCD$.

3. Соединив точки $S$ и $P$, получим прямую $SP$, которая является линией пересечения плоскостей $SAB$ и $SCD$.

Примечание: если бы в основании был параллелограмм или трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$), то линия пересечения плоскостей $SAB$ и $SCD$ проходила бы через точку $S$ параллельно прямым $AB$ и $CD$.

Ответ: Прямая $SP$, где $P$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.

в) SBC на плоскости SAD.

Найдем линию пересечения плоскостей $SBC$ и $SAD$.

1. Точка $S$ является общей для обеих плоскостей: $S \in (SBC)$ и $S \in (SAD)$.

2. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые $BC$ и $AD$, лежащие в плоскости основания $ABCD$. Предположим, что эти прямые не параллельны.

Так как прямые $BC$ и $AD$ лежат в одной плоскости $(ABCD)$ и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке. Назовем ее $Q$. Для построения нужно продолжить отрезки $BC$ и $AD$ до их пересечения.

Так как точка $Q$ лежит на прямой $BC$, то $Q$ принадлежит плоскости $SBC$ ($Q \in (SBC)$).

Так как точка $Q$ лежит на прямой $AD$, то $Q$ принадлежит плоскости $SAD$ ($Q \in (SAD)$).

Следовательно, точка $Q$ — вторая общая точка плоскостей $SBC$ и $SAD$.

3. Соединив точки $S$ и $Q$, получим прямую $SQ$, которая является линией пересечения плоскостей $SBC$ и $SAD$.

Примечание: если бы в основании была трапеция с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC \parallel AD$), то линия пересечения плоскостей $SBC$ и $SAD$ проходила бы через точку $S$ параллельно прямым $BC$ и $AD$.

Ответ: Прямая $SQ$, где $Q$ — точка пересечения прямых $BC$ и $AD$.