Номер 134, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

134. Можно ли выбрать в пространстве четыре прямые, которые попарно перпендикулярны?

Предположим, что такие четыре прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$ существуют в пространстве. Каждой прямой сопоставим ее ненулевой направляющий вектор: $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ соответственно.

Условие попарной перпендикулярности прямых означает, что их направляющие векторы попарно ортогональны. В терминах скалярного произведения это записывается как $\vec{v_i} \cdot \vec{v_j} = 0$ для любых $i \neq j$ (где $i, j \in \{1, 2, 3, 4\}$).

Рассмотрим первые три вектора: $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$. Так как они ненулевые и попарно ортогональны, они линейно независимы. В трехмерном пространстве (в котором мы по умолчанию решаем задачу) максимальное число линейно независимых векторов равно трем. Таким образом, набор векторов $\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}$ образует базис.

Это означает, что любой вектор в этом пространстве, включая $\vec{v_4}$, можно однозначно представить в виде линейной комбинации базисных векторов: $\vec{v_4} = c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + c_3\vec{v_3}$, где $c_1, c_2, c_3$ — некоторые числовые коэффициенты.

Теперь воспользуемся тем, что вектор $\vec{v_4}$ должен быть ортогонален каждому из векторов базиса. Умножим скалярно обе части этого равенства последовательно на $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ и $\vec{v_3}$.

1. Умножение на $\vec{v_1}$:
$\vec{v_4} \cdot \vec{v_1} = (c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + c_3\vec{v_3}) \cdot \vec{v_1}$
По условию $\vec{v_4} \cdot \vec{v_1} = 0$. Раскрывая скобки и учитывая ортогональность векторов ($\vec{v_2} \cdot \vec{v_1} = 0$, $\vec{v_3} \cdot \vec{v_1} = 0$), получаем:
$0 = c_1(\vec{v_1} \cdot \vec{v_1}) + c_2(0) + c_3(0) = c_1|\vec{v_1}|^2$
Так как $\vec{v_1}$ — ненулевой вектор, его длина в квадрате $|\vec{v_1}|^2 \neq 0$. Отсюда следует, что $c_1 = 0$.

2. Умножение на $\vec{v_2}$:
Аналогично, $\vec{v_4} \cdot \vec{v_2} = 0$ приводит к уравнению $0 = c_2|\vec{v_2}|^2$, из которого следует, что $c_2 = 0$.

3. Умножение на $\vec{v_3}$:
И так же, $\vec{v_4} \cdot \vec{v_3} = 0$ приводит к уравнению $0 = c_3|\vec{v_3}|^2$, из которого следует, что $c_3 = 0$.

Таким образом, мы получили, что все коэффициенты $c_1, c_2, c_3$ равны нулю. Это означает, что $\vec{v_4} = 0 \cdot \vec{v_1} + 0 \cdot \vec{v_2} + 0 \cdot \vec{v_3} = \vec{0}$. Но направляющий вектор прямой по определению не может быть нулевым вектором. Мы пришли к противоречию.

Следовательно, исходное предположение о существовании четырех попарно перпендикулярных прямых в пространстве неверно.

Ответ: Нет, нельзя.