Номер 33, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

33. В гранях $ABA_1$, $BCB_1$ и на ребре $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $M, N, K$ соответственно (рис. 16). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $MNK$.

Рис. 16

Задача состоит из двух частей: создание чертежа и построение точки пересечения. Выполним их последовательно.

На рисунке ниже изображена призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с отмеченными точками $M$, $N$, $K$. Также на нем показаны все шаги построения искомой точки $L$, которая является точкой пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $MNK$. Подробное описание шагов построения приведено в следующем пункте.

Для построения искомой точки пересечения воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) плоскости $MNK$ с гранями призмы. Алгоритм построения следующий:

1. Построение следа на грани $BCC_1B_1$. Точки $N$ и $K$ по условию лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$. Следовательно, прямая $NK$ является следом плоскости $MNK$ на плоскости $(BCC_1)$.
2. Построение следа на плоскости основания $ABCD$. Для этого найдем две точки, принадлежащие одновременно плоскости $MNK$ и плоскости $ABCD$.
   • Первая точка, $P$, находится на пересечении прямой $NK$ и прямой $BC$. Так как обе прямые лежат в плоскости $(BCC_1)$, они пересекаются. Точка $P$ принадлежит прямой $NK$, а значит и плоскости $(MNK)$. Также она принадлежит прямой $BC$, а значит и плоскости $(ABCD)$. Таким образом, $P = NK \cap BC$.
   • Для нахождения второй точки сначала найдем след плоскости $(MNK)$ на грани $ABB_1A_1$. Для этого найдем точку $T$ на пересечении прямой $NK$ и прямой $BB_1$ (обе лежат в плоскости $(BCC_1)$). Точка $T$ принадлежит плоскости $(MNK)$ и плоскости $(ABB_1A_1)$. $T = NK \cap BB_1$. Теперь в плоскости $(ABB_1A_1)$ лежат две точки из плоскости $(MNK)$: точка $M$ (из условия) и точка $T$. Прямая $MT$ — это след плоскости $(MNK)$ на грани $ABB_1A_1$.
   • Вторая точка следа на основании, $S$, находится на пересечении прямой $MT$ и прямой $AB$. Обе прямые лежат в плоскости $(ABB_1A_1)$. Точка $S$ принадлежит плоскости $(MNK)$ и плоскости $(ABCD)$. $S = MT \cap AB$.
   Прямая $PS$ является следом плоскости $MNK$ на плоскости основания $ABCD$.
3. Построение следа на грани $CDD_1C_1$. Ребро $DD_1$, точку пересечения с которым мы ищем, лежит в плоскости грани $CDD_1C_1$. Найдем след плоскости $(MNK)$ на этой грани.
   • Одна точка этого следа нам уже известна — это точка $K$ на ребре $CC_1$.
   • Найдем вторую точку, $R$, на пересечении следа $PS$ (лежащего в плоскости $(ABCD)$) и прямой $CD$ (также лежащей в плоскости $(ABCD)$). Точка $R$ принадлежит плоскости $(MNK)$ и плоскости $(CDD_1C_1)$. $R = PS \cap CD$.
   Прямая $KR$ является следом плоскости $MNK$ на плоскости грани $CDD_1C_1$.
4. Нахождение искомой точки $L$. Искомая точка $L$ является точкой пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $(MNK)$. Так как ребро $DD_1$ и след $KR$ лежат в одной плоскости $(CDD_1C_1)$, то их точка пересечения и будет искомой точкой. $L = KR \cap DD_1$.

Ответ: Искомой точкой пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $MNK$ является точка $L$, полученная как точка пересечения прямой $DD_1$ и прямой $KR$, где $R$ — точка пересечения прямых $PS$ и $CD$, $P$ — точка пересечения прямых $NK$ и $BC$, а $S$ — точка пересечения прямых $MT$ и $AB$, где $T$ — точка пересечения прямых $NK$ и $BB_1$.