Номер 37, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

37. На ребрах $KK_1$, $LL_1$, $NN_1$ призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$ отмечены точки $A, B, C$ соответственно (рис. 20). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью $ABC$.

Рис. 20

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и C, воспользуемся методом следов. Этот метод заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью основания призмы. Затем, используя этот след, мы находим остальные точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы.

1. Построение отрезков сечения, лежащих на известных гранях

Точки A и B лежат на ребрах $KK_1$ и $LL_1$ соответственно. Эти ребра принадлежат одной боковой грани $KK_1L_1L$. Следовательно, отрезок AB является стороной искомого сечения и лежит в плоскости этой грани. Соединяем точки A и B.

Аналогично, точки A и C лежат на ребрах $KK_1$ и $NN_1$. Эти ребра принадлежат боковой грани $NN_1K_1K$. Следовательно, отрезок AC также является стороной сечения и лежит в плоскости этой грани. Соединяем точки A и C.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

След — это прямая, по которой секущая плоскость (ABC) пересекается с плоскостью нижнего основания призмы (KLMN). Для построения прямой достаточно найти две ее точки.

a) Находим первую точку следа. Прямая AB, принадлежащая секущей плоскости, и прямая KL, принадлежащая плоскости основания, лежат в одной плоскости грани $KK_1L_1L$. Продлим отрезки AB и KL до их пересечения в точке P. Таким образом, $P = AB \cap KL$. Так как точка P лежит на прямой KL, она принадлежит плоскости основания (KLMN). Так как P лежит на прямой AB, она принадлежит секущей плоскости (ABC). Следовательно, P — первая точка следа.

б) Находим вторую точку следа. Прямая AC, принадлежащая секущей плоскости, и прямая NK, принадлежащая плоскости основания, лежат в одной плоскости грани $NN_1K_1K$. Продлим отрезки AC и NK до их пересечения в точке Q. Таким образом, $Q = AC \cap NK$. Точка Q также принадлежит обеим плоскостям (основания и секущей) и, следовательно, является второй точкой следа.

в) Проводим прямую через точки P и Q. Прямая PQ является следом секущей плоскости (ABC) на плоскости основания (KLMN).

3. Нахождение четвертой вершины сечения

Нам осталось найти точку пересечения секущей плоскости с ребром $MM_1$. Обозначим эту искомую точку D. Точка D будет лежать на грани $LL_1M_1M$.

Рассмотрим грань $LL_1M_1M$. Точка B уже принадлежит этой грани и секущей плоскости. Найдем еще одну общую точку для плоскости грани $LL_1M_1M$ и секущей плоскости. След PQ (лежащий в секущей плоскости) пересекает прямую LM (лежащую в плоскости грани $LL_1M_1M$) в некоторой точке R. Таким образом, $R = PQ \cap LM$.

Теперь у нас есть две точки, B и R, которые принадлежат и секущей плоскости, и плоскости грани $LL_1M_1M$. Это означает, что прямая BR является линией пересечения этих двух плоскостей. Эта прямая пересечет ребро $MM_1$ в искомой точке D. Таким образом, $D = BR \cap MM_1$. Точка D — четвертая вершина сечения.

4. Завершение построения сечения

Мы нашли все четыре вершины искомого сечения: A (на $KK_1$), B (на $LL_1$), D (на $MM_1$) и C (на $NN_1$). Соединяя их последовательно, получаем четырехугольник ABDC. Убедимся, что его стороны лежат на гранях призмы:

• AB лежит на грани $KK_1L_1L$ (по построению).
• BD лежит на грани $LL_1M_1M$ (по построению).
• DC: точки D и C лежат на ребрах $MM_1$ и $NN_1$ соответственно, поэтому отрезок DC лежит на грани $MM_1N_1N$.
• CA лежит на грани $NN_1K_1K$ (по построению).

Четырехугольник ABDC — искомое сечение.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник ABDC, вершины которого лежат на боковых ребрах призмы. Вершина D на ребре $MM_1$ строится с помощью метода следов: сначала находится след PQ секущей плоскости на плоскости основания (где $P = AB \cap KL$, $Q = AC \cap NK$), а затем точка D определяется как пересечение ребра $MM_1$ с прямой BR, где $R = PQ \cap LM$.