Номер 35, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

35. Точки $P$, $Q$, $R$ отмечены на ребре $B_1C_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в грани $CC_1D_1$ и плоскости $ABC$ соответственно (рис. 18). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $PQR$.

Рис. 18

Для построения точки пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $(PQR)$ необходимо найти линию пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью грани $CC_1D_1D$, в которой лежит ребро $DD_1$. Искомая точка будет являться точкой пересечения ребра $DD_1$ и этой построенной линии.

Построение:

1. Искомая точка $S$ есть пересечение прямой $DD_1$ и плоскости $(PQR)$. Прямая $DD_1$ принадлежит плоскости задней грани $(CC_1D_1)$. Следовательно, точка $S$ должна лежать на прямой, по которой пересекаются плоскости $(PQR)$ и $(CC_1D_1)$. Обозначим эту прямую $l$.

2. Одна точка прямой $l$ нам уже известна — это точка $Q$, так как по условию она лежит в грани $CC_1D_1$ и принадлежит плоскости $(PQR)$.

3. Для построения прямой $l$ найдем вторую точку, принадлежащую обеим плоскостям. Такой точкой является точка пересечения прямой $PR$ (лежащей в плоскости $(PQR)$) с плоскостью $(CC_1D_1)$. Обозначим эту точку $X$.

4. Чтобы построить точку $X = PR \cap (CC_1D_1)$, используем метод вспомогательных плоскостей. Проведем через прямую $PR$ вспомогательную плоскость. Для этого спроецируем точку $P$, лежащую на ребре $B_1C_1$, на плоскость нижнего основания $ABC$ параллельно боковому ребру $BB_1$. Получим точку $P'$ на ребре $BC$. Прямая $PR$ лежит во вспомогательной плоскости $(PRP')$.

5. Теперь найдем линию пересечения нашей вспомогательной плоскости $(PRP')$ с плоскостью грани $(CC_1D_1)$. Для этого найдем точку пересечения их следов на плоскости основания $ABC$. Следом плоскости $(PRP')$ на плоскости $ABC$ является прямая $P'R$. Следом плоскости $(CC_1D_1)$ на плоскости $ABC$ является прямая $CD$.

6. Продлим прямые $P'R$ и $CD$ до их пересечения в точке $F$. Точка $F$ принадлежит обеим плоскостям: $(PRP')$ и $(CC_1D_1)$.

7. Линия пересечения плоскостей $(PRP')$ и $(CC_1D_1)$ должна проходить через точку $F$. Так как обе плоскости содержат вертикальные прямые ($PP'$ и $CC_1$ соответственно), то линия их пересечения также будет вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной $CC_1$ и $DD_1$. Проведем через $F$ прямую $m \parallel DD_1$.

8. Точка $X$ лежит на прямой $PR$ и в плоскости $(CC_1D_1)$. Прямая $m$ также лежит в плоскости $(CC_1D_1)$. В то же время, прямые $PR$ и $m$ лежат в одной вспомогательной плоскости $(PRP')$, а значит, они пересекаются. Их точка пересечения и есть искомая точка $X$. Итак, $X = PR \cap m$.

9. Теперь у нас есть две точки, $Q$ и $X$, лежащие на линии пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью грани $(CC_1D_1)$. Проводим через них прямую $l = QX$.

10. Искомая точка $S$ является точкой пересечения ребра $DD_1$ с построенной прямой $QX$. Так как обе прямые, $DD_1$ и $QX$, лежат в плоскости грани $(CC_1D_1)$, они пересекаются. Точка $S = DD_1 \cap QX$ является искомой точкой пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $(PQR)$.

Ответ: Точка $S$ на рисунке является искомой точкой пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $PQR$.