Номер 506, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

506. Боковое ребро правильной треугольной усеченной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите объем пирамиды, учитывая, что радиус окружности, описанной около меньшего основания, равен 1 см.

Для нахождения объема правильной треугольной усеченной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота усеченной пирамиды, $S_1$ и $S_2$ – площади ее большего и меньшего оснований соответственно.

Пусть боковое ребро равно $l = 4$ см, а угол, который оно образует с плоскостью основания, равен $\alpha = 60°$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой пирамиды $H$ (катет) и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания (второй катет). Длина этого второго катета равна разности радиусов $R_1 - R_2$ окружностей, описанных около оснований.

Из этого треугольника находим высоту $H$ и разность радиусов $R_1 - R_2$:

$H = l \cdot \sin(\alpha) = 4 \cdot \sin(60°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

$R_1 - R_2 = l \cdot \cos(\alpha) = 4 \cdot \cos(60°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.

По условию, радиус окружности, описанной около меньшего основания, равен $R_2 = 1$ см. Тогда радиус окружности, описанной около большего основания, равен:

$R_1 = 2 + R_2 = 2 + 1 = 3$ см.

Основания пирамиды – правильные треугольники. Площадь правильного треугольника $S$ может быть вычислена через радиус описанной окружности $R$ по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

Найдем площади оснований:

Площадь меньшего основания $S_2$ (при $R_2 = 1$ см):

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ см².

Площадь большего основания $S_1$ (при $R_1 = 3$ см):

$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{3\sqrt{3} \cdot 9}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$ см².

Теперь можем вычислить объем усеченной пирамиды. Сначала найдем $\sqrt{S_1 S_2}$:

$\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{\frac{27\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{16}} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

Подставим все найденные значения в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{27\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{4}\right)$

$V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \left(\frac{(27+3+9)\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{39\sqrt{3}}{4}$

$V = \frac{2 \cdot 39 \cdot (\sqrt{3})^2}{3 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 39 \cdot 3}{12} = \frac{234}{12} = 19.5$ см³.

Ответ: $19.5 \text{ см}^3$.