Номер 510, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

510. В основании четырехугольной пирамиды лежит параллелограмм площадью $360 \text{ см}^2$ со сторонами $20 \text{ см}$ и $36 \text{ см}$. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна $12 \text{ см}$. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм со сторонами $a = 20$ см и $b = 36$ см. Площадь основания $S_{осн} = 360$ см². Высота пирамиды $H = 12$ см и проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех боковых граней, которые являются треугольниками. Поскольку высота пирамиды проецируется в центр симметрии основания (точку пересечения диагоналей), площади противолежащих боковых граней равны. Таким образом, площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно найти по формуле: $S_{бок} = 2 \cdot S_a + 2 \cdot S_b$, где $S_a$ – площадь грани, опирающейся на сторону $a$, а $S_b$ – площадь грани, опирающейся на сторону $b$.

Площадь треугольной грани равна половине произведения ее основания на высоту (апофему). Чтобы найти апофемы, нам сначала нужно найти расстояния от центра основания до его сторон.

1. Найдем высоты параллелограмма.
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = \text{сторона} \times \text{высота}$. Найдем высоту $h_a$, проведенную к стороне $a = 20$ см: $h_a = \frac{S_{осн}}{a} = \frac{360 \text{ см}^2}{20 \text{ см}} = 18$ см. Найдем высоту $h_b$, проведенную к стороне $b = 36$ см: $h_b = \frac{S_{осн}}{b} = \frac{360 \text{ см}^2}{36 \text{ см}} = 10$ см.

2. Найдем расстояния от центра основания до сторон.
Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит его высоты пополам. Следовательно, расстояние от центра основания до стороны $a$ (обозначим $d_a$) равно половине высоты $h_a$: $d_a = \frac{h_a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см. Аналогично, расстояние до стороны $b$ (обозначим $d_b$) равно половине высоты $h_b$: $d_b = \frac{h_b}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Найдем апофемы (высоты боковых граней).
Апофема, высота пирамиды $H$ и расстояние от центра основания до стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдем апофемы по теореме Пифагора. Апофема $l_a$ для грани с основанием $a$: $l_a = \sqrt{H^2 + d_a^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см. Апофема $l_b$ для грани с основанием $b$: $l_b = \sqrt{H^2 + d_b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

4. Вычислим площадь боковой поверхности.
Теперь можем найти площади боковых граней. Площадь двух граней с основанием $a=20$ см: $2 \cdot S_a = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot l_a\right) = a \cdot l_a = 20 \cdot 15 = 300$ см². Площадь двух граней с основанием $b=36$ см: $2 \cdot S_b = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot b \cdot l_b\right) = b \cdot l_b = 36 \cdot 13 = 468$ см². Суммарная площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 300 + 468 = 768$ см².

Ответ: $768 \text{ см}^2$.