Номер 508, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

508. В треугольной пирамиде противоположные пары ребер имеют длины $a$ и $a_1$, $b$ и $b_1$, $c$ и $c_1$. Найдите длины трех отрезков, соединяющих их середины.

Пусть дан тетраэдр (треугольная пирамида) с вершинами A, B, C, D. Обозначим длины его ребер следующим образом:

• Пара противоположных ребер AB и CD имеет длины $a$ и $a_1$ соответственно ($|AB| = a$, $|CD| = a_1$).
• Пара противоположных ребер AC и BD имеет длины $b$ и $b_1$ соответственно ($|AC| = b$, $|BD| = b_1$).
• Пара противоположных ребер AD и BC имеет длины $c$ и $c_1$ соответственно ($|AD| = c$, $|BC| = c_1$).

Нам нужно найти длины трех отрезков, соединяющих середины этих пар ребер. Для решения задачи воспользуемся формулой длины медианы треугольника: для треугольника со сторонами $x, y, z$ длина медианы $m_z$, проведенной к стороне $z$, вычисляется как $m_z^2 = \frac{2x^2 + 2y^2 - z^2}{4}$.

Длина отрезка, соединяющего середины ребер с длинами $a$ и $a_1$

Пусть M — середина ребра AB, а N — середина ребра CD. Найдем длину отрезка MN. Рассмотрим треугольник CDM. Отрезок MN является медианой, проведенной из вершины M к стороне CD (поскольку N - середина CD). Длина этой медианы выражается через длины сторон треугольника CDM:

$MN^2 = \frac{2 \cdot CM^2 + 2 \cdot DM^2 - CD^2}{4}$

Отрезки CM и DM, в свою очередь, являются медианами в треугольниках ABC и ABD соответственно, проведенными к общей стороне AB.

В треугольнике ABC длина медианы CM, проведенной к стороне AB, равна:

$CM^2 = \frac{2 \cdot AC^2 + 2 \cdot BC^2 - AB^2}{4} = \frac{2b^2 + 2c_1^2 - a^2}{4}$

В треугольнике ABD длина медианы DM, проведенной к стороне AB, равна:

$DM^2 = \frac{2 \cdot AD^2 + 2 \cdot BD^2 - AB^2}{4} = \frac{2c^2 + 2b_1^2 - a^2}{4}$

Теперь подставим полученные выражения для $CM^2$ и $DM^2$ в формулу для $MN^2$:

$MN^2 = \frac{1}{4} \left( 2 \cdot \frac{2b^2 + 2c_1^2 - a^2}{4} + 2 \cdot \frac{2c^2 + 2b_1^2 - a^2}{4} - CD^2 \right)$

Подставим $|CD| = a_1$:

$MN^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{2b^2 + 2c_1^2 - a^2}{2} + \frac{2c^2 + 2b_1^2 - a^2}{2} - a_1^2 \right)$

Приведем к общему знаменателю внутри скобок:

$MN^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{2b^2 + 2c_1^2 - a^2 + 2c^2 + 2b_1^2 - a^2 - 2a_1^2}{2} \right)$

$MN^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 + 2b_1^2 + 2c_1^2 - 2a^2 - 2a_1^2}{8} = \frac{b^2 + c^2 + b_1^2 + c_1^2 - a^2 - a_1^2}{4}$

Таким образом, искомая длина отрезка равна:

$MN = \sqrt{\frac{b^2 + b_1^2 + c^2 + c_1^2 - a^2 - a_1^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + b_1^2 + c^2 + c_1^2 - a^2 - a_1^2}$

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{b^2 + b_1^2 + c^2 + c_1^2 - a^2 - a_1^2}$

Длина отрезка, соединяющего середины ребер с длинами $b$ и $b_1$

Действуя аналогично для отрезка, соединяющего середины ребер AC (длиной $b$) и BD (длиной $b_1$), мы получим симметричную формулу, где пары $(a, a_1)$ и $(b, b_1)$ меняются ролями:

Длина отрезка в квадрате равна $\frac{a^2 + a_1^2 + c^2 + c_1^2 - b^2 - b_1^2}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + a_1^2 + c^2 + c_1^2 - b^2 - b_1^2}$

Длина отрезка, соединяющего середины ребер с длинами $c$ и $c_1$

Для третьего отрезка, соединяющего середины ребер AD (длиной $c$) и BC (длиной $c_1$), формула получается аналогичной заменой:

Длина отрезка в квадрате равна $\frac{a^2 + a_1^2 + b^2 + b_1^2 - c^2 - c_1^2}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + a_1^2 + b^2 + b_1^2 - c^2 - c_1^2}$