Номер 881, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

881. Углы $B$ и $D$ треугольников $ABC$ и $ACD$ равны по $40^\circ$, стороны $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $F$ под углом $70^\circ$ (рис. 280). Найдите углы $BAC$ и $DAC$, учитывая, что треугольник $ACD$ равнобедренный, а треугольник $ABC$ неравнобедренный.

Рис. 280

Для решения задачи воспользуемся свойством о сумме углов в треугольнике ($180^\circ$) и свойством вертикальных углов.

Стороны $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $F$ под углом $70^\circ$. Будем считать, что это острый угол, образованный пересечением, то есть $\angle AFB = 70^\circ$. Поскольку углы $\angle AFB$ и $\angle CFD$ являются вертикальными, они равны: $\angle CFD = \angle AFB = 70^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABF$. Нам известны два угла: $\angle ABF = \angle B = 40^\circ$ и $\angle AFB = 70^\circ$. Найдем третий угол, $\angle BAF$, который является искомым углом $\angle BAC$:
$\angle BAC = 180^\circ - (\angle ABF + \angle AFB) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь найдем второй искомый угол, $\angle DAC$. Для этого сначала найдем угол $\angle ACD$ из треугольника $\triangle CDF$. В $\triangle CDF$ нам известны углы: $\angle FDC = \angle D = 40^\circ$ и $\angle CFD = 70^\circ$. Найдем третий угол, $\angle FCD$, который является углом $\angle ACD$:
$\angle ACD = 180^\circ - (\angle FDC + \angle CFD) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь, когда известны два угла треугольника $\triangle ACD$ ($\angle D = 40^\circ$ и $\angle ACD = 70^\circ$), найдем искомый угол $\angle DAC$:
$\angle DAC = 180^\circ - (\angle ADC + \angle ACD) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Проверка условий:
1. Треугольник $ACD$ равнобедренный. Его углы равны $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. Так как $\angle DAC = \angle ACD = 70^\circ$, треугольник является равнобедренным. Условие выполнено.
2. Треугольник $ABC$ неравнобедренный. Его углы: $\angle B = 40^\circ, \angle BAC = 70^\circ$. Третий угол $\angle BCA = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 70^\circ$. Так как $\angle BAC = \angle BCA = 70^\circ$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, что противоречит условию.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Решение, приведенное выше, является единственно возможным, если пренебречь условием о том, что треугольник $ABC$ неравнобедренный.

Ответ: $\angle BAC = 70^\circ$, $\angle DAC = 70^\circ$.