Номер 882, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

882. Один из углов прямоугольного треугольника равен ${25}^{\circ}$. Найдите углы, под которыми из центра описанной окружности видны катеты.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ \triangle ABC $ с прямым углом при вершине $ C $ ($ \angle C = 90^\circ $). Один из его острых углов равен $ 25^\circ $. Пусть это будет $ \angle A = 25^\circ $.

Сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $. Найдем второй острый угол $ \angle B $:$ \angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ $.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Обозначим центр окружности точкой $ O $. Таким образом, точка $ O $ является серединой гипотенузы $ AB $.

Нам нужно найти углы, под которыми из центра $ O $ видны катеты $ AC $ и $ BC $. Это углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $.

Угол, под которым из центра окружности видна хорда, является центральным углом, и он в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Катет $ BC $ является хордой описанной окружности. Угол $ \angle BOC $ — это центральный угол, опирающийся на дугу $ \stackrel{\frown}{BC} $. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, — это $ \angle BAC $. Следовательно, $ \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ $.

Катет $ AC $ также является хордой. Угол $ \angle AOC $ — это центральный угол, опирающийся на дугу $ \stackrel{\frown}{AC} $. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, — это $ \angle ABC $. Следовательно, $ \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ $.

Проверим: точки $ A, O, B $ лежат на одной прямой (гипотенузе), поэтому угол $ \angle AOB $ является развернутым и равен $ 180^\circ $. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $ смежные, и их сумма должна быть $ 180^\circ $.$ \angle AOC + \angle BOC = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ $. Вычисления верны.

Ответ: $50^\circ$ и $130^\circ$.