Номер 100, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

100. Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника (рис. 156) являются вершинами параллелограмма.

Пространственный четырехугольник — четырехугольник, вершины которого не принадлежат одной плоскости.

Рис. 156

Пусть $A, B, C, D$ — вершины произвольного пространственного четырехугольника. Согласно определению, его вершины не лежат в одной плоскости. Обозначим середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ как $K, L, M$ и $N$ соответственно. Необходимо доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника и рассмотрим диагональ $AC$ исходного четырехугольника. Эта диагональ является общей стороной для двух треугольников: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Сначала рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины его сторон $AB$ и $BC$. По определению, $KL$ является средней линией этого треугольника. Согласно теореме о средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Таким образом, мы имеем:
$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины его сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$. По той же теореме о средней линии:
$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Сравним полученные результаты для отрезков $KL$ и $MN$. Мы установили, что оба отрезка параллельны одной и той же прямой $AC$, из чего следует, что они параллельны между собой: $KL \parallel MN$. Также мы установили, что длины обоих отрезков равны одной и той же величине ($\frac{1}{2}AC$), следовательно, они равны между собой: $KL = MN$.

Таким образом, в четырехугольнике $KLMN$ мы нашли пару противоположных сторон ($KL$ и $MN$), которые одновременно являются и параллельными, и равными по длине. По одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать. Этот факт также известен как теорема Вариньона.

Ответ: Утверждение доказано. Середины сторон любого пространственного четырехугольника образуют вершины параллелограмма.