Номер 14, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

14. В треугольной пирамиде $EFGH$ точки $M$, $N$, $P$ — середины рёбер $HE$, $HF$, $HG$ соответственно, а точка $K$ лежит на отрезке $FN$ (рис. 149).

Определите взаимное расположение прямых:

а) $KP$ и $MN$;

б) $MN$ и $EG$;

в) $MH$ и $FG$.

Рис. 149

Для решения задачи примем, что вершиной пирамиды является точка H, а основанием — треугольник EFG (это следует из того, что точки M, N, P являются серединами рёбер, выходящих из одной точки H).

а) KP и MN

Рассмотрим плоскость грани $HEF$. Точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $HE$ и $HF$ соответственно, поэтому прямая $MN$ лежит в этой плоскости. По свойству средней линии треугольника $HEF$, прямая $MN$ параллельна прямой $EF$ ($MN \parallel EF$).

Точка $K$ лежит на отрезке $FN$. Так как точки $F$ и $N$ (середина $HF$) лежат в плоскости $(HEF)$, то и вся прямая $FN$, а значит, и точка $K$, лежит в этой плоскости.

Точка $P$ является серединой ребра $HG$. Так как вершина $G$ не принадлежит плоскости $(HEF)$ (в ином случае пирамида была бы вырожденной, плоской), точка $P$ также не принадлежит этой плоскости.

Таким образом, прямая $KP$ соединяет точку $K$, лежащую в плоскости $(HEF)$, с точкой $P$, не лежащей в этой плоскости. Прямая $MN$ целиком лежит в плоскости $(HEF)$.

Прямые $KP$ и $MN$ могут пересечься только в точке, которая лежит в плоскости $(HEF)$. Единственная точка прямой $KP$, лежащая в этой плоскости, — это точка $K$. Следовательно, для пересечения прямых необходимо, чтобы точка $K$ лежала на прямой $MN$.

Однако точка $K$ по условию лежит на прямой $FN$ (которая совпадает с прямой $HF$). Прямые $MN$ и $HF$ (как средняя линия и сторона треугольника $HEF$) пересекаются в точке $N$. Значит, точка $K$ может лежать на прямой $MN$ только в том случае, если $K$ совпадает с $N$. В общем же случае, когда $K$ — произвольная точка отрезка $FN$, не совпадающая с его концами (как показано на рисунке), точка $K$ не лежит на прямой $MN$. Следовательно, в общем случае прямые не пересекаются.

Прямые $KP$ и $MN$ не параллельны. Если предположить, что $KP \parallel MN$, то из $MN \parallel EF$ следовало бы, что $KP \parallel EF$. Это возможно, только если точки $K, P, E, F$ лежат в одной плоскости. Однако для невырожденной пирамиды эти точки некомпланарны.

Поскольку прямые в общем случае не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Скрещивающиеся прямые.

б) MN и EG

Как было установлено в пункте а), $MN$ — средняя линия треугольника $HEF$, и, следовательно, $MN \parallel EF$.

Таким образом, задача определения взаимного расположения прямых $MN$ и $EG$ сводится к определению взаимного расположения прямых $EF$ и $EG$.

Прямые $EF$ и $EG$ — это два ребра основания пирамиды, которые выходят из одной вершины $E$. Они лежат в одной плоскости (плоскости основания $EFG$) и пересекаются в точке $E$. Следовательно, они не параллельны.

Поскольку $MN \parallel EF$, а прямая $EF$ не параллельна прямой $EG$, то и прямая $MN$ не параллельна прямой $EG$.

Теперь определим, пересекаются ли прямые $MN$ и $EG$. Прямая $MN$ лежит в плоскости боковой грани $(HEF)$. Прямая $EG$ пересекает эту плоскость в единственной точке $E$ (так как вершина $G$ не лежит в плоскости $(HEF)$). Для того чтобы прямые $MN$ и $EG$ пересекались, точка их пересечения должна быть $E$. Это потребовало бы, чтобы точка $E$ лежала на прямой $MN$. Но $MN$ — средняя линия треугольника $HEF$ и не проходит через его вершину $E$. Значит, прямые $MN$ и $EG$ не пересекаются.

Так как прямые $MN$ и $EG$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Скрещивающиеся прямые.

в) MH и FG

Прямая $MH$ проходит через вершину $H$ и середину ребра $HE$, точку $M$. Следовательно, прямая $MH$ совпадает с прямой, содержащей ребро $HE$. Задача сводится к определению взаимного расположения ребер $HE$ и $FG$.

Ребро $HE$ является боковым ребром пирамиды, а $FG$ — ребром основания. Эти два ребра не имеют общих вершин.

Рассмотрим плоскость основания $(EFG)$. Прямая $FG$ полностью лежит в этой плоскости. Прямая $HE$ пересекает плоскость основания в единственной точке $E$ (так как $H$ — вершина пирамиды и не лежит в плоскости основания).

Для пересечения прямых $HE$ и $FG$ их общая точка должна быть $E$. Это означало бы, что точка $E$ лежит на прямой $FG$. Но $E, F, G$ — вершины треугольника основания, они не лежат на одной прямой. Следовательно, прямые $HE$ и $FG$ не пересекаются.

Прямые $HE$ и $FG$ также не параллельны, так как являются скрещивающимися рёбрами тетраэдра (в общем случае).

Поскольку прямые $HE$ (а значит, и $MH$) и $FG$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.

Ответ: Скрещивающиеся прямые.