Номер 101, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

101. Параллелограмм $MNKL$ и треугольник $NAK$ не лежат в одной плоскости. Прямая $a$ проходит через точку $P$ прямой $AK$ и параллельна прямой $NK$. Определите взаимное расположение прямых $a$ и $ML$.

Для определения взаимного расположения прямых $a$ и $ML$ воспользуемся свойствами параллельных прямых и плоскостей в пространстве.

1. Рассмотрим плоскость, в которой лежит треугольник $NAK$. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Поскольку точки $N$, $A$ и $K$ лежат в плоскости $\alpha$, то прямые $AK$ и $NK$, являющиеся сторонами треугольника, также полностью лежат в этой плоскости ($AK \subset \alpha$ и $NK \subset \alpha$).

2. По условию, прямая $a$ проходит через точку $P$ прямой $AK$. Это означает, что точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha$). Также по условию прямая $a$ параллельна прямой $NK$ ($a \parallel NK$). Так как прямая $a$ проходит через точку $P$ плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $NK$, лежащей в этой же плоскости, то прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

3. Рассмотрим параллелограмм $MNKL$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, прямая $ML$ параллельна прямой $NK$ ($ML \parallel NK$).

4. Теперь у нас есть два факта:

• $a \parallel NK$ (из условия задачи)
• $ML \parallel NK$ (из свойства параллелограмма)

Согласно теореме о параллельности трех прямых в пространстве, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Из того, что $a \parallel NK$ и $ML \parallel NK$, следует, что $a \parallel ML$.

5. Остается выяснить, не совпадают ли прямые $a$ и $ML$. Прямая $a$ лежит в плоскости треугольника $NAK$ ($a \subset \alpha$), а прямая $ML$ лежит в плоскости параллелограмма $MNKL$ (обозначим ее $\beta$, т.е. $ML \subset \beta$). По условию, параллелограмм $MNKL$ и треугольник $NAK$ не лежат в одной плоскости, значит $\alpha \neq \beta$. Если бы прямые $a$ и $ML$ совпадали, то они были бы линией пересечения этих двух различных плоскостей, то есть совпадали бы с прямой $NK$. Но это противоречит условию, что $a \parallel NK$ и свойству, что $ML \parallel NK$ (параллельные прямые не имеют общих точек). Следовательно, прямые $a$ и $ML$ не совпадают.

Таким образом, прямые $a$ и $ML$ являются параллельными.

Ответ: Прямые $a$ и $ML$ параллельны.