Номер 155, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

155. Две стороны треугольника параллельны плоскости $\beta$. Определите, параллельна ли и третья сторона этого треугольника плоскости $\beta$.

Для решения этой задачи воспользуемся методами стереометрии.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Плоскость, в которой лежит этот треугольник, обозначим как $α$. По условию задачи, две стороны треугольника, например $AB$ и $AC$, параллельны некоторой плоскости $β$.

Запишем условия:

• Треугольник $ABC$ лежит в плоскости $α$.
• Сторона $AB$ параллельна плоскости $β$, то есть $AB \parallel β$.
• Сторона $AC$ параллельна плоскости $β$, то есть $AC \parallel β$.

Нужно определить, параллельна ли третья сторона $BC$ плоскости $β$.

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения плоскости треугольника $α$ и плоскости $β$.

1. Предположим, что плоскость $α$ пересекает плоскость $β$.
Если две плоскости пересекаются, то линия их пересечения — прямая. Обозначим эту прямую как $l$. Таким образом, $l = α \cap β$.
Согласно теореме о параллельности прямой и плоскости, если плоскость ($α$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($β$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей ($l$) параллельна данной прямой ($AB$).
Из того, что $AB \subset α$ и $AB \parallel β$, следует, что $AB \parallel l$.
Аналогично, из того, что $AC \subset α$ и $AC \parallel β$, следует, что $AC \parallel l$.
Таким образом, мы имеем две прямые, $AB$ и $AC$, которые проходят через одну и ту же точку $A$ и обе параллельны прямой $l$.
Однако, согласно аксиоме параллельных прямых (аксиоме Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение неверно. Прямые $AB$ и $AC$ не могут быть одновременно параллельны прямой $l$, так как они пересекаются в точке $A$ и образуют стороны треугольника (то есть не лежат на одной прямой).
Следовательно, случай, когда плоскость $α$ пересекает плоскость $β$, невозможен.

2. Плоскость $α$ не пересекает плоскость $β$.
Если плоскость $α$ не пересекает плоскость $β$, это означает, что они параллельны: $α \parallel β$.
По определению параллельных плоскостей, любая прямая, лежащая в одной из них, параллельна другой плоскости.
Третья сторона треугольника, $BC$, является прямой, лежащей в плоскости $α$ ($BC \subset α$).
Поскольку $α \parallel β$, то и прямая $BC$ параллельна плоскости $β$.

Таким образом, из условия, что две стороны треугольника параллельны плоскости $β$, однозначно следует, что и плоскость самого треугольника параллельна плоскости $β$, а значит, и третья его сторона также параллельна этой плоскости.

Ответ: Да, третья сторона этого треугольника параллельна плоскости $β$.