Номер 266, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

266*. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB_1$ и $CD_1$;

б) $AC$ и $BB_1$;

в) $A_1D$ и $C_1A$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AD$ (ось $Ox$), $AB$ (ось $Oy$) и $AA_1$ (ось $Oz$). В этой системе координат вершины куба с ребром $a$ имеют следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(0, a, 0)$
• $C(a, a, 0)$
• $D(a, 0, 0)$
• $A_1(0, 0, a)$
• $B_1(0, a, a)$
• $C_1(a, a, a)$
• $D_1(a, 0, a)$

а)

Найдем расстояние между прямыми $AB_1$ и $CD_1$. Эти прямые являются скрещивающимися диагоналями противоположных граней куба.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Прямая $AB_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$. Уравнение этой плоскости $x=0$.

Рассмотрим прямую $CD_1$. Найдем ее направляющий вектор: $\vec{v} = \vec{D_1} - \vec{C} = (a, 0, a) - (a, a, 0) = (0, -a, a)$.

Плоскость $ABB_1A_1$ задается уравнением $x=0$. Ее нормальный вектор $\vec{n} = (1, 0, 0)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}$: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (0, -a, a) \cdot (1, 0, 0) = 0 \cdot 1 + (-a) \cdot 0 + a \cdot 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, прямая $CD_1$ параллельна плоскости $ABB_1A_1$.

Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $CD_1$ (например, точки $C(a, a, 0)$) до плоскости $x=0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Для точки $C(a, a, 0)$ и плоскости $x=0$ расстояние равно: $d = \frac{|1 \cdot a + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}} = \frac{|a|}{1} = a$.

Ответ: $a$

б)

Найдем расстояние между прямыми $AC$ и $BB_1$. Эти прямые скрещиваются.

Воспользуемся методом параллельной плоскости. Прямая $AC$ лежит в плоскости диагонального сечения $ACC_1A_1$.

Прямая $BB_1$ параллельна ребру $AA_1$, которое лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1A_1$.

Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ (например, точки $B$) до плоскости $ACC_1A_1$.

В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $AC$ в плоскости основания. Диагонали квадрата перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $BO \perp AC$, и длина $BO$ является искомым расстоянием.

Длина диагонали $BD$ в квадрате со стороной $a$ равна $BD = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Точка $O$ — середина $BD$, поэтому $BO = \frac{1}{2}BD$.

$d = BO = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

в)

Найдем расстояние между прямыми $A_1D$ и $C_1A$. Эти прямые являются скрещивающимися диагоналями (одна — диагональ грани, другая — пространственная диагональ куба).

Рассмотрим тетраэдр $A_1DC_1A$, ребрами которого являются данные прямые.

Объем тетраэдра $V$ можно вычислить по формуле $V = \frac{1}{6}d \cdot l_1 \cdot l_2 \cdot \sin\theta$, где $l_1$ и $l_2$ — длины скрещивающихся ребер, $d$ — расстояние между ними, а $\theta$ — угол между ними.

1. Найдем объем тетраэдра $A_1DC_1A$. Его можно рассматривать как пирамиду с основанием $\triangle A_1DA$ и вершиной $C_1$. Площадь основания $S_{A_1DA}$ (прямоугольный треугольник) равна $S_{A_1DA} = \frac{1}{2} \cdot A_1A \cdot AD = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{a^2}{2}$. Высота пирамиды, опущенная из вершины $C_1$ на плоскость основания $(ADD_1A_1)$, равна длине ребра $C_1D_1 = a$.

Объем тетраэдра: $V = \frac{1}{3} S_{A_1DA} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}$.

2. Найдем длины ребер и угол между ними.

Длина $l_1 = |A_1D| = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$.

Длина $l_2 = |C_1A| = \sqrt{AB^2+AD^2+AA_1^2} = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}$.

Для нахождения угла $\theta$ используем векторы: $\vec{A_1D} = \vec{D} - \vec{A_1} = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)$.

$\vec{C_1A} = \vec{A} - \vec{C_1} = (0, 0, 0) - (a, a, a) = (-a, -a, -a)$.

Найдем их скалярное произведение: $\vec{A_1D} \cdot \vec{C_1A} = a(-a) + 0(-a) + (-a)(-a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, то есть $\theta = 90^\circ$, и $\sin\theta = 1$.

3. Приравняем выражения для объема:

$\frac{a^3}{6} = \frac{1}{6} d \cdot (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{3}) \cdot 1$

$a^3 = d \cdot a^2\sqrt{6}$

$d = \frac{a^3}{a^2\sqrt{6}} = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{6}$