Номер 269, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

269. Через одну из сторон ромба проведена плоскость, отстоящая от противоположной стороны ромба на 8 см. Найдите проекции сторон ромба на эту плоскость, учитывая, что проекции диагоналей на неё равны 16 см и 4 см.

Пусть ромб называется $ABCD$, а плоскость $\alpha$ проведена через сторону $AB$. По условию, расстояние от противоположной стороны $CD$ до плоскости $\alpha$ равно 8 см. Поскольку сторона $CD$ параллельна стороне $AB$, а $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то вся прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что все точки стороны $CD$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$.

Обозначим через $h_X$ расстояние от точки $X$ до плоскости $\alpha$.
Так как $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, то $h_A = 0$ и $h_B = 0$.
Так как расстояние от стороны $CD$ до плоскости $\alpha$ равно 8 см, то $h_C = 8$ см и $h_D = 8$ см.

Длина проекции $L_{пр}$ отрезка $L$ на плоскость связана с его длиной и разностью высот $\Delta h$ его концов над плоскостью по формуле: $L_{пр}^2 = L^2 - (\Delta h)^2$.

Применим эту формулу к диагоналям ромба $AC$ и $BD$. Пусть их длины равны $d_1$ и $d_2$ соответственно. Длины их проекций на плоскость $\alpha$ по условию равны $d_{1,пр} = 16$ см и $d_{2,пр} = 4$ см.

Для диагонали $AC$ (длина $d_1$):
Разность высот концов: $\Delta h_{AC} = h_C - h_A = 8 - 0 = 8$ см.
Длина ее проекции: $d_{1,пр} = 16$ см.
Следовательно, $d_1^2 = d_{1,пр}^2 + (\Delta h_{AC})^2 = 16^2 + 8^2 = 256 + 64 = 320$.

Для диагонали $BD$ (длина $d_2$):
Разность высот концов: $\Delta h_{BD} = h_D - h_B = 8 - 0 = 8$ см.
Длина ее проекции: $d_{2,пр} = 4$ см.
Следовательно, $d_2^2 = d_{2,пр}^2 + (\Delta h_{BD})^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$.

Для любого ромба со стороной $a$ и диагоналями $d_1$ и $d_2$ справедливо соотношение, основанное на теореме Пифагора для четверти ромба: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$, что эквивалентно $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$.

Подставим найденные значения $d_1^2$ и $d_2^2$:
$4a^2 = 320 + 80 = 400$
$a^2 = 100$
$a = 10$ см.
Таким образом, длина стороны ромба равна 10 см.

Теперь найдем длины проекций сторон ромба на плоскость $\alpha$.
Проекция стороны $AB$
Сторона $AB$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому ее проекция совпадает с самой стороной. Длина проекции равна длине стороны $a$.
Длина проекции $AB = 10$ см.
Проекция стороны $CD$
Концы стороны $CD$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости ($\Delta h_{CD} = h_D - h_C = 8 - 8 = 0$). Длина проекции равна длине самой стороны.
Длина проекции $CD = \sqrt{a^2 - (\Delta h_{CD})^2} = \sqrt{10^2 - 0^2} = 10$ см.
Проекция стороны $BC$
Разность высот концов: $\Delta h_{BC} = h_C - h_B = 8 - 0 = 8$ см.
Длина проекции $BC = \sqrt{a^2 - (\Delta h_{BC})^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.
Проекция стороны $DA$
Разность высот концов: $\Delta h_{DA} = h_D - h_A = 8 - 0 = 8$ см.
Длина проекции $DA = \sqrt{a^2 - (\Delta h_{DA})^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Таким образом, две проекции сторон ромба имеют длину 10 см, а две другие — 6 см.

Ответ: Длины проекций сторон ромба на плоскость равны 10 см, 10 см, 6 см и 6 см.