Номер 343, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

343. Общая сторона $AB$ треугольников $ABC$ и $ABD$ равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите $CD$, учитывая, что треугольники:

а) равносторонние;

б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой $AB$.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ имеют общую сторону $AB = 10$ см. Плоскость $(ABC) \perp$ плоскости $(ABD)$. Требуется найти длину отрезка $CD$.

Общая схема решения для обоих подпунктов состоит в следующем:

1. В каждом из треугольников ($ABC$ и $ABD$) проводим высоты к общей стороне $AB$. Пусть это будут высоты $CH$ и $DH$, где $H$ - точка на прямой $AB$.
2. Так как плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ перпендикулярны, а высоты $CH$ и $DH$ перпендикулярны их линии пересечения $AB$, то угол между высотами $\angle CHD = 90^\circ$.
3. Рассматриваем прямоугольный треугольник $CHD$ и по теореме Пифагора находим гипотенузу $CD$, зная катеты $CH$ и $DH$.

а) треугольники равносторонние

В равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=10$ см высота $CH$ к стороне $AB$ является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $AB$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$CH = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Аналогично, в равностороннем треугольнике $ABD$ высота $DH$ к стороне $AB$ также падает в середину $AB$, то есть в ту же точку $H$. Ее длина также равна:
$DH = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим $\triangle CHD$. Так как плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ перпендикулярны, то $\angle CHD = 90^\circ$. Треугольник $CHD$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:
$CD^2 = CH^2 + DH^2$
$CD^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 = (25 \cdot 3) + (25 \cdot 3) = 75 + 75 = 150$
$CD = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.

б) треугольники прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB

В прямоугольном равнобедренном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB = 10$ см. Высота $CH$, проведенная к гипотенузе, является также медианой. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.
Высота $CH$ падает в середину гипотенузы $AB$. Обозначим эту точку $H$.

Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $ABD$ с гипотенузой $AB=10$ см, высота $DH$, проведенная к гипотенузе, также равна половине гипотенузы и падает в ту же точку $H$.
$DH = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим $\triangle CHD$. Так как плоскости $(ABC)$ и $(ABD)$ перпендикулярны, то $\angle CHD = 90^\circ$. Треугольник $CHD$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:
$CD^2 = CH^2 + DH^2$
$CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$
$CD = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.