Номер 347, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

347. Отрезки $AE$ и $CF$ — высоты треугольника $ABC$, а отрезок $DK$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$. Докажите, что прямые $KD$ и $AC$ перпендикулярны.

Дано:
В $\triangle ABC$ отрезки $AE$ и $CF$ являются высотами, что означает $AE \perp BC$ и $CF \perp AB$.
Отрезок $DK$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, то есть прямая $DK \perp (ABC)$. Точка $K$ принадлежит плоскости $ABC$, а точка $D$ не принадлежит ей.

Доказать:
Прямые $KD$ и $AC$ перпендикулярны, то есть $KD \perp AC$.

Доказательство:

1. По условию задачи дано, что отрезок $DK$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$. Это означает, что прямая $KD$, содержащая данный отрезок, перпендикулярна всей плоскости $(ABC)$.

2. Воспользуемся основным определением перпендикулярности прямой и плоскости: прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Прямая $AC$ является стороной треугольника $ABC$. Следовательно, прямая $AC$ полностью лежит в плоскости треугольника $ABC$.

4. Так как прямая $KD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$ (согласно пункту 1), а прямая $AC$ лежит в этой плоскости (согласно пункту 3), то по определению, приведенному в пункте 2, прямая $KD$ должна быть перпендикулярна прямой $AC$.

Таким образом, перпендикулярность прямых $KD$ и $AC$ доказана.

Следует заметить, что информация о том, что $AE$ и $CF$ являются высотами, является избыточной для доказательства данного утверждения. Эта информация не используется в ходе решения, поскольку перпендикулярность прямых $KD$ и $AC$ напрямую следует из условия перпендикулярности прямой $KD$ и плоскости $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Перпендикулярность прямых $KD$ и $AC$ следует непосредственно из определения прямой, перпендикулярной плоскости. Так как по условию $DK \perp (ABC)$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $KD \perp AC$.