Номер 381, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

381. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты точек плоскости, проходящей через точку $B(2; 3; -2)$ перпендикулярно:

a) оси абсцисс;

б) оси ординат;

в) оси аппликат;

г) прямой $AB$, где $A(4; 1; -2)$.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, задается формулой:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Во всех пунктах задачи плоскость проходит через точку $B(2; 3; -2)$, поэтому $x_0=2$, $y_0=3$, $z_0=-2$. Условие перпендикулярности плоскости некоторой прямой означает, что направляющий вектор этой прямой является нормальным вектором для плоскости.

а) оси абсцисс

Плоскость перпендикулярна оси абсцисс (оси Ox). Направляющий вектор оси Ox — это $\vec{i} = (1; 0; 0)$. Следовательно, этот вектор является нормальным вектором плоскости, то есть $\vec{n} = (1; 0; 0)$. Подставим координаты точки $B$ и вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$1 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - 3) + 0 \cdot (z - (-2)) = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

б) оси ординат

Плоскость перпендикулярна оси ординат (оси Oy). Направляющий вектор оси Oy — это $\vec{j} = (0; 1; 0)$. Возьмем его в качестве нормального вектора: $\vec{n} = (0; 1; 0)$. Уравнение плоскости, проходящей через точку $B(2; 3; -2)$, будет:

$0 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - 3) + 0 \cdot (z - (-2)) = 0$

$y - 3 = 0$

$y = 3$

Ответ: $y = 3$.

в) оси аппликат

Плоскость перпендикулярна оси аппликат (оси Oz). Направляющий вектор оси Oz — это $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (0; 0; 1)$. Уравнение плоскости, проходящей через точку $B(2; 3; -2)$, будет:

$0 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - 3) + 1 \cdot (z - (-2)) = 0$

$z + 2 = 0$

$z = -2$

Ответ: $z = -2$.

г) прямой AB, где A(4; 1; -2)

Плоскость перпендикулярна прямой AB. Следовательно, направляющий вектор прямой AB является нормальным вектором для плоскости. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - 4; 3 - 1; -2 - (-2)) = (-2; 2; 0)$

Итак, нормальный вектор плоскости $\vec{n} = (-2; 2; 0)$. Подставим его и координаты точки $B(2; 3; -2)$ в уравнение плоскости:

$-2(x - 2) + 2(y - 3) + 0(z - (-2)) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-2x + 4 + 2y - 6 = 0$

$-2x + 2y - 2 = 0$

Разделим все члены уравнения на -2, чтобы получить более простое уравнение:

$x - y + 1 = 0$

Ответ: $x - y + 1 = 0$.