Номер 3, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Как определяется сложение векторов?

Сложение векторов — это операция нахождения вектора, который является результатом одновременного действия нескольких векторов. Этот результирующий вектор называется суммой векторов. Существует два основных способа определения сложения векторов: геометрический и аналитический (координатный).

1. Геометрическое определение

Геометрически сложение векторов определяется с помощью нескольких правил, которые эквивалентны друг другу.

Правило треугольника

Для того чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор $\vec{b}$. Тогда вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет начинаться в начале вектора $\vec{a}$ и заканчиваться в конце вектора $\vec{b}$. Если вектор $\vec{a}$ представлен как $\vec{AB}$, а вектор $\vec{b}$ как $\vec{BC}$, то их сумма будет вектором $\vec{AC}$. Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Ответ: Суммой двух векторов по правилу треугольника является вектор, проведенный из начала первого вектора в конец второго, при условии, что начало второго вектора совмещено с концом первого.

Правило параллелограмма

Это правило применимо для неколлинеарных векторов. Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их нужно отложить от одной общей точки. Затем на этих векторах как на сторонах строят параллелограмм. Суммой векторов $\vec{a} + \vec{b}$ будет вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, выходящей из общей точки начала векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Суммой двух векторов, отложенных от одной точки, по правилу параллелограмма является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из их общего начала.

Правило многоугольника

Это правило является обобщением правила треугольника для сложения трех и более векторов. Чтобы найти сумму нескольких векторов $\vec{a_1}, \vec{a_2}, ..., \vec{a_n}$, их последовательно откладывают друг от друга так, чтобы начало каждого следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Суммой (или замыкающим вектором) будет вектор, проведенный из начала первого вектора $\vec{a_1}$ в конец последнего вектора $\vec{a_n}$.

Ответ: Суммой нескольких векторов по правилу многоугольника является вектор, который замыкает ломаную линию, построенную из этих векторов, и направлен от начала первого вектора к концу последнего.

2. Аналитическое (координатное) определение

Если векторы заданы своими координатами в некоторой системе координат, то их сложение определяется как сложение соответствующих координат.

Пусть в двумерном пространстве даны векторы $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$. Тогда их сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты:

$\vec{c} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}$

Аналогично для трехмерного пространства: если $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$, то:

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \{x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2\}$

Это правило обобщается на пространства любой размерности.

Ответ: Суммой двух или более векторов, заданных в координатной форме, является вектор, каждая координата которого равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.

Свойства сложения векторов

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

• Коммутативность (переместительный закон): $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• Ассоциативность (сочетательный закон): $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
• Сложение с нулевым вектором: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
• Существование противоположного вектора: для любого вектора $\vec{a}$ существует противоположный ему вектор $-\vec{a}$ такой, что $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$