Номер 5, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Что называется разностью векторов?

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ даёт вектор $\vec{a}$. То есть, если $\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}$, то $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

На практике для нахождения разности векторов используют несколько подходов.

Определение через противоположный вектор

Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно определить как сумму вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. Противоположным вектором $-\vec{b}$ называется вектор, который имеет ту же длину (модуль), что и вектор $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону.

Таким образом, операция вычитания сводится к операции сложения:

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Этот подход полезен, так как правила сложения векторов хорошо известны (правило треугольника и правило параллелограмма).

Ответ: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор, равный сумме вектора $\vec{a}$ и вектора $-\vec{b}$, противоположного вектору $\vec{b}$.

Геометрическое представление (Правило треугольника)

Для того чтобы геометрически найти разность двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Отложить оба вектора от одной общей точки (например, точки $O$). Пусть концом вектора $\vec{a}$ будет точка $A$ ($\vec{OA} = \vec{a}$), а концом вектора $\vec{b}$ — точка $B$ ($\vec{OB} = \vec{b}$).

2. Построить вектор, начало которого совпадает с концом вычитаемого вектора (точка $B$), а конец — с концом уменьшаемого вектора (точка $A$).

Полученный вектор $\vec{BA}$ и будет являться разностью векторов $\vec{a} - \vec{b}$. Это следует из правила сложения векторов для треугольника $OAB$: $\vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA}$, или $\vec{b} + \vec{BA} = \vec{a}$, откуда $\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: Чтобы найти разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенных из одной точки, нужно построить вектор, направленный из конца вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$.

Координатный метод

Если векторы заданы своими координатами в некоторой системе координат, то их разность находится путем почленного вычитания соответствующих координат.

Пусть в пространстве даны векторы $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$. Тогда их разность $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ будет иметь координаты:

$\vec{c} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)$

Например, если на плоскости $\vec{a} = (5; -2)$ и $\vec{b} = (3; 4)$, то их разность равна:

$\vec{a} - \vec{b} = (5-3; -2-4) = (2; -6)$

Ответ: Координатами разности двух векторов являются разности соответствующих координат этих векторов.