Номер 8, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Какие векторы называются коллинеарными?

Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы могут быть двух видов:

• Сонаправленные – это коллинеарные векторы, направленные в одну сторону. Такое отношение обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Противоположно направленные – это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Существует несколько эквивалентных условий для определения коллинеарности векторов.

1. Алгебраическое условие
Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число (скаляр) $k$, что выполняется равенство:
$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$
Значение коэффициента $k$ также указывает на их взаимное направление:

• Если $k > 0$, векторы сонаправлены.
• Если $k < 0$, векторы противоположно направлены.
• Если $k = 0$, то $\vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{a} = \vec{0}$).
• Модуль числа $k$ показывает отношение длин векторов: $|\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{b}|$.

2. Условие коллинеарности в координатах
Если векторы заданы своими координатами, их коллинеарность означает пропорциональность соответствующих координат.

• Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ (где $\vec{b} \neq \vec{0}$), они коллинеарны, если их координаты пропорциональны:
  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$
  Это условие можно записать в виде, не требующем деления: $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.
• Для векторов в пространстве $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ (где $\vec{b} \neq \vec{0}$), они коллинеарны, если:
  $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$

Ответ: Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что один вектор может быть выражен через другой путем умножения на некоторое число (скаляр): $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.