Номер 460, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

460. На рёбрах $AB$ и $CD$ треугольной пирамиды $ABCD$ выбраны такие точки $P$ и $Q$, что $AP : PB = CQ : QD = k$. Выразите вектор $\vec{PQ}$ через векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

Для выражения вектора $\vec{PQ}$ через векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ воспользуемся методом векторов положения. Пусть O — произвольная точка в пространстве, которую мы примем за начало отсчета. Тогда положение любой точки X в пространстве задается ее радиус-вектором $\vec{OX}$.

Точка P находится на ребре AB и делит его в отношении $AP : PB = k$. Это отношение можно записать как $k:1$. По формуле деления отрезка в данном отношении, радиус-вектор точки P выражается через радиус-векторы точек A и B:

Аналогично, точка Q находится на ребре CD и делит его в отношении $CQ : QD = k$, или $k:1$. Радиус-вектор точки Q выражается через радиус-векторы точек C и D:

Вектор $\vec{PQ}$ можно представить как разность радиус-векторов его конца (точки Q) и начала (точки P):

Подставим в это равенство полученные выражения для $\vec{OP}$ и $\vec{OQ}$:

Объединим дроби и сгруппируем слагаемые в числителе:

По правилу вычитания векторов, разность радиус-векторов двух точек равна вектору, соединяющему эти точки. Таким образом:

$\vec{OC} - \vec{OA} = \vec{AC}$

$\vec{OD} - \vec{OB} = \vec{BD}$

Подставим эти выражения обратно в формулу для вектора $\vec{PQ}$:

Таким образом, мы выразили вектор $\vec{PQ}$ через векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

Ответ: $ \vec{PQ} = \frac{1}{k+1}(\vec{AC} + k\vec{BD}) $.