Номер 467, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

467. Через середину высоты правильной треугольной пирамиды проходит плоскость, параллельная боковой грани. В каком отношении она разделяет другие рёбра?

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — центр основания (и точка пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника $ABC$). По условию, секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ — середину высоты $SO$, то есть $SM = MO = \frac{1}{2} SO$. Плоскость $\alpha$ параллельна боковой грани, например, грани $SBC$. Нам нужно найти, в каком отношении плоскость $\alpha$ делит "другие рёбра", то есть рёбра, не принадлежащие грани $SBC$. Этими рёбрами являются боковое ребро $SA$ и рёбра основания $AB$ и $AC$.

Для решения задачи используем геометрический метод. Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину $S$, высоту $SO$ и медиану основания $AK$ (где $K$ — середина стороны $BC$). Эта плоскость $SAK$ содержит также апофему $SK$.

1. Найдём отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит боковое ребро $SA$.

Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $SAK$. Линия их пересечения — это прямая, проходящая через точку $M$, лежащую в обеих плоскостях. Так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $SBC$, то линия их пересечения с третьей плоскостью $SAK$ также будут параллельны. Линия пересечения плоскостей $SAK$ и $SBC$ — это апофема $SK$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $SAK$ по прямой, проходящей через $M$ и параллельной $SK$.

Пусть эта прямая пересекает ребро $SA$ в точке $Q$ и медиану основания $AK$ в точке $P$. Таким образом, мы имеем прямую $QP$, которая проходит через $M$, и $QP \parallel SK$.

Рассмотрим треугольник $SOK$. В нём отрезок $MP$ параллелен стороне $SK$ ($P$ лежит на $OK$). Так как $M$ — середина $SO$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle OMP \sim \triangle OSK$), точка $P$ является серединой отрезка $OK$. То есть, $OP = \frac{1}{2} OK$.

Точка $O$ является центром правильного треугольника $ABC$ и делит медиану $AK$ в отношении $AO:OK = 2:1$. Отсюда $AO = 2 \cdot OK$ и $AK = AO + OK = 3 \cdot OK$.

Теперь найдём, в каком отношении точка $P$ делит медиану $AK$.$AP = AO + OP = 2 \cdot OK + \frac{1}{2} OK = \frac{5}{2} OK$. Отношение длины отрезка $AP$ к длине всей медианы $AK$ равно:$\frac{AP}{AK} = \frac{\frac{5}{2} OK}{3 \cdot OK} = \frac{5}{6}$.

Теперь рассмотрим треугольник $SAK$. Прямая $QP$ параллельна стороне $SK$ и пересекает стороны $SA$ и $AK$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. По теореме о пропорциональных отрезках:$\frac{AQ}{AS} = \frac{AP}{AK} = \frac{5}{6}$. Это означает, что точка $Q$ делит ребро $SA$ в отношении $AQ:QS = 5:1$.

2. Найдём отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит рёбра основания $AB$ и $AC$.

Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость основания $ABC$. Так как $\alpha \parallel SBC$, то линия их пересечения с плоскостью $ABC$ будет параллельна линии пересечения $SBC$ и $ABC$, то есть прямой $BC$. Пусть плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $AB$ и $AC$ в точках $R$ и $T$ соответственно. Тогда прямая $RT$ параллельна $BC$.

Так как $RT \parallel BC$, то по теореме о пропорциональных отрезках (рассматривая угол $BAC$ и параллельные прямые $RT$ и $BC$), треугольник $ART$ подобен треугольнику $ABC$. Точка $P$ (пересечение $\alpha$ и медианы $AK$) лежит на отрезке $RT$. Из подобия $\triangle ART \sim \triangle ABC$ следует:$\frac{AR}{AB} = \frac{AT}{AC} = \frac{AP}{AK}$.

Мы уже нашли, что $\frac{AP}{AK} = \frac{5}{6}$. Следовательно, $\frac{AR}{AB} = \frac{5}{6}$, что означает, что точка $R$ делит ребро $AB$ в отношении $AR:RB = 5:1$. Аналогично, $\frac{AT}{AC} = \frac{5}{6}$, и точка $T$ делит ребро $AC$ в отношении $AT:TC = 5:1$.

Таким образом, плоскость разделяет все три "других ребра" ($SA$, $AB$ и $AC$) в одном и том же отношении. Если считать от вершины $A$ (вершины, не принадлежащей грани $SBC$), то отношение составляет $5:1$. Если считать от вершин, принадлежащих грани $SBC$ (то есть $S, B, C$), то отношение будет $1:5$. Обычно указывается одно из этих отношений.

Ответ: Плоскость разделяет каждое из других рёбер ($SA$, $AB$, $AC$) в отношении $5:1$, если считать от вершины $A$. Или, что эквивалентно, в отношении $1:5$, если считать от вершин $S, B, C$.