Номер 466, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

466. Прямая $l$ пересекает плоскости граней $ABC$, $ABD$, $ACD$ и $BCD$ треугольной пирамиды $ABCD$ в точках $D_1$, $C_1$, $B_1$ и $A_1$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ лежат в одной плоскости.

Для доказательства того, что четыре точки лежат в одной плоскости, мы воспользуемся векторным методом. Достаточно показать, что существует такой ненулевой вектор $\vec{n}$ (нормаль к плоскости) и такое число $k$, что для всех четырех точек $\vec{m}$ выполняется скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{m} = k$.

Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ — радиус-векторы вершин пирамиды $A, B, C, D$ соответственно. Пусть прямая $l$ задается векторным уравнением $\vec{r}(t) = \vec{p} + t\vec{u}$, где $\vec{p}$ — радиус-вектор некоторой точки на прямой, а $\vec{u}$ — направляющий вектор прямой.

Прямая $l$ пересекает плоскости граней $ABC, ABD, ACD$ и $BCD$ в точках $D_1, C_1, B_1$ и $A_1$. Радиус-векторы этих точек можно записать как:$\vec{d}_1 = \vec{p} + t_D \vec{u}$$\vec{c}_1 = \vec{p} + t_C \vec{u}$$\vec{b}_1 = \vec{p} + t_B \vec{u}$$\vec{a}_1 = \vec{p} + t_A \vec{u}$для некоторых значений параметра $t_A, t_B, t_C, t_D$.

Обозначим середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ как $M_A, M_B, M_C, M_D$. Их радиус-векторы равны:$\vec{m}_A = \frac{\vec{a} + \vec{a}_1}{2}$$\vec{m}_B = \frac{\vec{b} + \vec{b}_1}{2}$$\vec{m}_C = \frac{\vec{c} + \vec{c}_1}{2}$$\vec{m}_D = \frac{\vec{d} + \vec{d}_1}{2}$

Чтобы доказать, что точки $M_A, M_B, M_C, M_D$ лежат в одной плоскости, нужно показать существование ненулевого вектора $\vec{n}$ и скаляра $k$ таких, что:$\vec{n} \cdot \vec{m}_A = k$$\vec{n} \cdot \vec{m}_B = k$$\vec{n} \cdot \vec{m}_C = k$$\vec{n} \cdot \vec{m}_D = k$

Эта система четырех уравнений эквивалентна следующей системе из трех уравнений (полученной вычитанием первого уравнения из остальных):$\vec{n} \cdot (\vec{m}_B - \vec{m}_A) = 0$$\vec{n} \cdot (\vec{m}_C - \vec{m}_A) = 0$$\vec{n} \cdot (\vec{m}_D - \vec{m}_A) = 0$

Рассмотрим разность векторов, например, $\vec{m}_B - \vec{m}_A$:$\vec{m}_B - \vec{m}_A = \frac{\vec{b} + \vec{b}_1}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{a}_1}{2} = \frac{1}{2}((\vec{b}-\vec{a}) + (\vec{b}_1-\vec{a}_1))$Поскольку точки $A_1$ и $B_1$ лежат на прямой $l$, разность их радиус-векторов равна:$\vec{b}_1 - \vec{a}_1 = (\vec{p} + t_B\vec{u}) - (\vec{p} + t_A\vec{u}) = (t_B - t_A)\vec{u} = -(t_A - t_B)\vec{u}$. Тогда$\vec{m}_B - \vec{m}_A = \frac{1}{2}((\vec{b}-\vec{a}) - (t_A - t_B)\vec{u})$.

Подставим это в наши условия. Умножив на 2, получим:$\vec{n} \cdot ((\vec{b}-\vec{a}) - (t_A - t_B)\vec{u}) = 0 \implies \vec{n} \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = (t_A - t_B)(\vec{n} \cdot \vec{u})$$\vec{n} \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) - (t_A - t_C)\vec{u}) = 0 \implies \vec{n} \cdot (\vec{c}-\vec{a}) = (t_A - t_C)(\vec{n} \cdot \vec{u})$$\vec{n} \cdot ((\vec{d}-\vec{a}) - (t_A - t_D)\vec{u}) = 0 \implies \vec{n} \cdot (\vec{d}-\vec{a}) = (t_A - t_D)(\vec{n} \cdot \vec{u})$

Нам нужно доказать, что существует ненулевой вектор $\vec{n}$, удовлетворяющий этой системе линейных уравнений относительно его компонент. Рассмотрим два случая для скалярного произведения $\vec{n} \cdot \vec{u}$.

1. Пусть $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$. Тогда система уравнений принимает вид:$\vec{n} \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$$\vec{n} \cdot (\vec{c}-\vec{a}) = 0$$\vec{n} \cdot (\vec{d}-\vec{a}) = 0$Векторы $\vec{b}-\vec{a}$, $\vec{c}-\vec{a}$ и $\vec{d}-\vec{a}$ являются векторами ребер тетраэдра, выходящих из вершины $A$. Так как тетраэдр невырожденный, эти три вектора линейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве. Если вектор $\vec{n}$ ортогонален всем трем базисным векторам, то он может быть только нулевым вектором: $\vec{n} = \vec{0}$. Но нормальный вектор плоскости не может быть нулевым. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Пусть $\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0$. Обозначим $\lambda = \vec{n} \cdot \vec{u}$. Мы можем определить новый вектор $\vec{n'} = \vec{n} / \lambda$. Для этого вектора система уравнений примет вид:$\vec{n'} \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = t_A - t_B$$\vec{n'} \cdot (\vec{c}-\vec{a}) = t_A - t_C$$\vec{n'} \cdot (\vec{d}-\vec{a}) = t_A - t_D$Это система трех линейных уравнений относительно трех компонент вектора $\vec{n'}$. Так как векторы $\vec{b}-\vec{a}$, $\vec{c}-\vec{a}$ и $\vec{d}-\vec{a}$ образуют базис, матрица этой системы невырождена. Следовательно, система имеет единственное решение для $\vec{n'}$. Это решение, в общем случае, является ненулевым вектором (он был бы нулевым, только если бы все разности $t_A - t_V$ были равны нулю, что соответствует вырожденному случаю, когда все точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ совпадают).

Таким образом, мы доказали существование ненулевого вектора $\vec{n'}$ (а значит и $\vec{n} = \lambda\vec{n'}$), который удовлетворяет исходным условиям. Это означает, что существует плоскость, содержащая все четыре точки $M_A, M_B, M_C, M_D$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ лежат в одной плоскости.