Номер 5, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Как могут располагаться в пространстве прямая и плоскость?

Взаимное расположение прямой и плоскости в трехмерном пространстве определяется количеством их общих точек. В зависимости от этого, выделяют три основных случая.

В этом случае у прямой и плоскости есть ровно одна общая точка, которую называют точкой пересечения. Обозначим прямую как $a$, а плоскость как $\alpha$. Тогда их пересечение — это точка $M$: $a \cap \alpha = \{M\}$. Это происходит, когда прямая «пронзает» плоскость. В аналитической геометрии это условие выполняется, если скалярное произведение направляющего вектора прямой $\vec{d}$ и нормального вектора плоскости $\vec{n}$ не равно нулю: $\vec{d} \cdot \vec{n} \neq 0$. Это означает, что прямая не параллельна плоскости и не лежит в ней.

Ответ: Прямая и плоскость имеют одну общую точку.

В данном случае у прямой и плоскости нет общих точек. Они не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали. Прямая $a$ называется параллельной плоскости $\alpha$, если она не имеет с ней общих точек. Это эквивалентно тому, что прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b$, лежащей в плоскости $\alpha$. Условием параллельности является то, что направляющий вектор прямой $\vec{d}$ перпендикулярен (ортогонален) нормальному вектору плоскости $\vec{n}$ (их скалярное произведение равно нулю: $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$), и при этом ни одна точка прямой не принадлежит плоскости. Математическая запись: $a \parallel \alpha$ и $a \cap \alpha = \emptyset$.

Ответ: Прямая и плоскость не имеют общих точек.

Это частный случай взаимного расположения, когда прямая полностью принадлежит плоскости. Это означает, что каждая точка прямой является также и точкой плоскости. В этом случае у них бесконечное множество общих точек. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, если две различные точки прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$. Как и в случае параллельности, направляющий вектор прямой $\vec{d}$ должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$ ($\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$). Однако, в отличие от случая строгой параллельности, любая точка, принадлежащая прямой, также удовлетворяет уравнению плоскости. Математически это обозначается как $a \subset \alpha$.

Ответ: Прямая и плоскость имеют бесконечно много общих точек (все точки прямой принадлежат плоскости).