Номер 94, страница 27 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

94. Расшифруйте пример, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры:

a)$\begin{array}{c} \text{СУМК,А} \\+ \underline{\text{СУМК,А}} \\ \text{БАГА,Ж}\end{array}$

б)$\begin{array}{c} \text{СЛОВ,О} \\+ \underline{\text{СЛОВ,О}} \\ \text{ПЕСН,Я}\end{array}$

a) Запишем пример в виде столбика, где каждая буква соответствует уникальной цифре от 0 до 9, а разные буквы соответствуют разным цифрам: $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & С & У & М & К, & А \\ + & & & & & \\ & С & У & М & К, & А \\ \hline Б & А & Г & А, & Ж \\ \end{array} $$ Этот пример можно представить в виде системы уравнений, где $p_1, p_2, p_3, p_4$ — это переносы из младшего разряда в старший (они могут быть равны 0 или 1):
1) $2 \times А = Ж + 10p_1$
2) $2 \times К + p_1 = А + 10p_2$
3) $2 \times М + p_2 = Г + 10p_3$
4) $2 \times У + p_3 = А + 10p_4$
5) $2 \times С + p_4 = 10 \times Б + А$ (Сложение двух четырехзначных чисел СУМК дает пятизначное число БАГА, значит $Б=1$)

Из уравнений (2) и (4) следует, что последняя цифра выражений $(2 \times К + p_1)$ и $(2 \times У + p_3)$ должна быть равна $А$. Следовательно, $(2 \times К + p_1) \equiv (2 \times У + p_3) \pmod{10}$. Это преобразуется в $2 \times (К - У) \equiv p_3 - p_1 \pmod{10}$. Так как $p_1$ и $p_3$ могут быть только $0$ или $1$, их разность $p_3 - p_1$ может быть $-1, 0$ или $1$. Левая часть уравнения $2 \times (К - У)$ всегда четная. Равенство возможно, только если $p_3 - p_1$ — четное число, то есть $p_3 - p_1 = 0$, откуда $p_3 = p_1$. Тогда $2 \times (К - У) \equiv 0 \pmod{10}$, что означает, что $(К - У)$ кратно 5. Так как $К \ne У$, то $|К - У| = 5$.

Рассмотрим случай, когда $p_4=1$. Тогда из (5) получаем $2 \times С + 1 = 10 + А$.
Рассмотрим пару $(С, А) = (7, 5)$. Тогда $2 \times 7 + 1 = 10 + 5$, что верно.
Так как $А=5$, из (1) получаем $p_1=1$. А так как $p_1=p_3$, то $p_3=1$.
Теперь используем (4): $2 \times У + p_3 = А + 10 \times p_4 \implies 2 \times У + 1 = 5 + 10 \times 1 \implies 2 \times У = 14 \implies У=7$. Но $С=7$, а разные буквы должны означать разные цифры, поэтому этот вариант не подходит.

Последовательным перебором других вариантов можно найти решение. Давайте рассмотрим другой подход, начав с анализа расположения одинаковых букв.
Начнем с предположения, что при сложении СУМК и СУМК не происходит переноса в старший разряд, то есть количество цифр в результате такое же. Тогда система уравнений выглядит так:
1) $2 \times А = Ж + 10p_1$
2) $2 \times К + p_1 = А + 10p_2$
3) $2 \times М + p_2 = Г + 10p_3$
4) $2 \times У + p_3 = А + 10p_4$
5) $2 \times С + p_4 = Б$

Проверим вариант: $С=1, Б=3, p_4=1$. Из (5): $2 \times 1 + 1 = 3$.
Из (4) с $p_4=1$: $2 \times У + p_3 = А + 10$.
Пусть $У=7$. Тогда $14 + p_3 = А + 10 \implies А = 4 + p_3$.
Поскольку $p_1=p_3$, проверим $p_3=1$: $А = 4+1 = 5$. Так как $А \ge 5$, то $p_1=1$, что согласуется с $p_3=1$.
Итак: $С=1, Б=3, У=7, А=5, p_1=1, p_3=1, p_4=1$.
Из $|К - У|=5$ и $У=7$ получаем $К=2$.
Из (2): $2 \times 2 + 1 = 5 + 10p_2 \implies 5=5+10p_2 \implies p_2=0$.
Из (3): $2 \times М + 0 = Г + 10 \times 1 \implies 2 \times М = Г + 10$. Г должно быть четным. Доступные цифры: $\{0,4,6,8,9\}$. Попробуем $Г=6$, тогда $2 \times М=16 \implies М=8$. Цифра 8 свободна.
Из (1): $2 \times 5 = Ж + 10 \times 1 \implies 10=Ж+10 \implies Ж=0$. Цифра 0 свободна.
Решение: $С=1, У=7, М=8, К=2, А=5, Б=3, Г=6, Ж=0$.
Проверка: $1782,5 + 1782,5 = 3565,0$. Все верно.
Ответ: a) 1782

б) Запишем пример в виде столбика: $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & С & Л & О & В, & О \\ + & & & & & \\ & С & Л & О & В, & О \\ \hline & П & Е & С & Н, & Я \\ \end{array} $$ Система уравнений ($q_i$ — переносы):
1) $2 \times О = Я + 10q_1$
2) $2 \times В + q_1 = Н + 10q_2$
3) $2 \times О + q_2 = С + 10q_3$
4) $2 \times Л + q_3 = Е + 10q_4$
5) $2 \times С + q_4 = П$

Из (1) $Я$ — четная цифра. Из (5) $С$ может быть 1, 2, 3 или 4. $О \ne 0$, иначе $Я=0$, что противоречит условию $О \ne Я$.
Пусть $О=1$.
Из (1): $2 \times 1 = Я + 10q_1 \implies Я=2, q_1=0$.
Из (3): $2 \times 1 + q_2 = С + 10q_3 \implies 2 + q_2 = С + 10q_3$.
- Если $q_2=0$, то $С=2$. Но $Я=2$, значит $С \ne Я$. Этот вариант не подходит.
- Если $q_2=1$, то $3 = С + 10q_3$, откуда $q_3=0$ и $С=3$.

Имеем: $О=1, Я=2, С=3, q_1=0, q_2=1, q_3=0$.
Подставим в (5): $2 \times С + q_4 = П \implies 2 \times 3 + q_4 = П \implies 6+q_4=П$.
- Если $q_4=0$, то $П=6$.
Уравнение (4): $2 \times Л + q_3 = Е + 10q_4 \implies 2 \times Л + 0 = Е + 10 \times 0 \implies 2 \times Л = Е$.
Использованы цифры: $О=1, Я=2, С=3, П=6$. Для пары $(Л, Е)$ ищем решение $Е = 2 \times Л$ из доступных цифр $\{0,4,5,7,8,9\}$. Подходит пара $Л=4, Е=8$.
Уравнение (2): $2 \times В + q_1 = Н + 10q_2 \implies 2 \times В + 0 = Н + 10 \times 1 \implies 2 \times В = Н + 10$.
$В$ должно быть $\ge 5$. Доступные цифры для $(В,Н)$: $\{0,5,7,9\}$.
Если $В=5$, то $2 \times 5 = Н + 10 \implies Н=0$. Цифры 5 и 0 свободны.

Решение найдено: $С=3, Л=4, О=1, В=5, Я=2, Н=0, Е=8, П=6$.
Проверка: $3415,1 + 3415,1 = 6830,2$.
Результат ПЕСН,Я = 6830,2. Третья цифра результата — $С=3$. Все сходится.
Все буквы разные и соответствуют разным цифрам: $С=3, Л=4, О=1, В=5, П=6, Е=8, Н=0, Я=2$.
Ответ: б) 3415