Номер 86, страница 168 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

86. Приведите примеры двух таких множеств A и B, чтобы их объединением было множество $T = \{3, 4, 7, 12, 18, 20, 34\}$, а пересечением — множество $N = \{7, 18\}$. Сколько решений имеет задача?

По условию задачи, объединением множеств A и B является множество $T = A \cup B = \{3, 4, 7, 12, 18, 20, 34\}$, а их пересечением — множество $N = A \cap B = \{7, 18\}$.

Из определения операций над множествами следует:

1. Элементы, входящие в пересечение ($N$), должны принадлежать обоим множествам. Таким образом, элементы $\{7, 18\}$ должны быть и в A, и в B.
2. Элементы, входящие в объединение ($T$), но не в пересечение ($N$), должны принадлежать ровно одному из множеств (либо A, либо B). Найдем множество этих элементов (оно называется симметрической разностью):
   $T \setminus N = \{3, 4, 7, 12, 18, 20, 34\} \setminus \{7, 18\} = \{3, 4, 12, 20, 34\}$.

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы распределить 5 элементов множества $\{3, 4, 12, 20, 34\}$ между множествами A и B, каждое из которых уже содержит общие элементы $\{7, 18\}$.

Приведите примеры двух таких множеств А и В. Ответ:

Пример 1: Все элементы из $T \setminus N$ добавляем в множество A.

• $A = \{7, 18\} \cup \{3, 4, 12, 20, 34\} = \{3, 4, 7, 12, 18, 20, 34\}$
• $B = \{7, 18\}$

Проверка: $A \cup B = T$ и $A \cap B = N$.

Пример 2: Распределим элементы из $T \setminus N$ между двумя множествами.

• $A = \{7, 18\} \cup \{3, 12, 20\} = \{3, 7, 12, 18, 20\}$
• $B = \{7, 18\} \cup \{4, 34\} = \{4, 7, 18, 34\}$

Проверка: $A \cup B = T$ и $A \cap B = N$.

Сколько решений имеет задача? Ответ:

Количество решений определяется числом способов, которыми можно распределить 5 элементов из множества $T \setminus N = \{3, 4, 12, 20, 34\}$. Для каждого из этих 5 элементов есть ровно 2 варианта: либо он попадает в множество A (и не попадает в B), либо он попадает в множество B (и не попадает в A). Поскольку выборы для каждого элемента независимы, общее число комбинаций равно $2^5$.

Вычисляем количество решений:

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.