Номер 46, страница 288 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

46. Верно ли, что если в треугольнике имеется:

а) прямой угол;

б) тупой угол,

то два других угла этого треугольника острые?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся ключевой теоремой геометрии о сумме углов треугольника. Она гласит, что сумма трёх внутренних углов любого треугольника всегда составляет $180^\circ$.

Вспомним также определения углов:

• Острый угол: угол, меньший $90^\circ$.
• Прямой угол: угол, равный $90^\circ$.
• Тупой угол: угол, больший $90^\circ$, но меньший $180^\circ$.

Рассмотрим случай, когда в треугольнике есть прямой угол. Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, и пусть $\alpha = 90^\circ$. Исходя из теоремы о сумме углов:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

$90^\circ + \beta + \gamma = 180^\circ$

Отсюда находим сумму двух других углов:

$\beta + \gamma = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Поскольку любой угол треугольника больше $0^\circ$, то есть $\beta > 0^\circ$ и $\gamma > 0^\circ$, то из их суммы, равной $90^\circ$, следует, что каждый из них по отдельности меньше $90^\circ$. Например, $\beta = 90^\circ - \gamma$, и так как $\gamma$ — положительная величина, $\beta$ будет меньше $90^\circ$. Аналогично для $\gamma$. Значит, оба угла, $\beta$ и $\gamma$, являются острыми.

а) прямой угол; Ответ: Да.

Теперь рассмотрим случай с тупым углом. Пусть угол $\alpha$ в треугольнике является тупым, то есть $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Сумма двух других углов $\beta$ и $\gamma$ равна:

$\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$

Так как $\alpha > 90^\circ$, то значение $180^\circ - \alpha$ будет меньше, чем $180^\circ - 90^\circ$. Таким образом, мы получаем неравенство:

$\beta + \gamma < 90^\circ$

Учитывая, что $\beta > 0^\circ$ и $\gamma > 0^\circ$, а их сумма меньше $90^\circ$, очевидно, что каждый из этих углов должен быть меньше $90^\circ$. Если бы один из них был равен или больше $90^\circ$, их сумма превысила бы $90^\circ$, что противоречит полученному неравенству. Следовательно, оба угла, $\beta$ и $\gamma$, — острые.

б) тупой угол, Ответ: Да.