Номер 17, страница 74 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

17. В тренажёрном зале занимались 22 человека.

10 из них — только на силовых тренажёрах, 11 — на тренажёрах на растяжку и 13 — на гибкость.

При этом известно, что 5 одновременно занимались на тренажёрах 1-го и 2-го вида, 9 — на тренажёрах 1-го и 3-го вида, 4 — на тренажёрах 3-го и 2-го вида.

Сколько посетителей спортивного зала занимались на тренажёрах всех трёх видов?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения для множеств посетителей:

• $A$ — множество посетителей, занимавшихся на силовых тренажёрах.
• $B$ — множество посетителей, занимавшихся на тренажёрах на растяжку.
• $C$ — множество посетителей, занимавшихся на тренажёрах на гибкость.

Исходя из условия задачи, запишем известные данные в математическом виде:

• Общее количество человек в зале: 22. Будем считать, что все они занимались хотя бы на одном из трёх видов тренажёров. Таким образом, мощность объединения множеств $|A \cup B \cup C| = 22$.
• Количество человек, занимавшихся только на силовых тренажёрах: $|A \setminus (B \cup C)| = 10$.
• Общее количество человек на тренажёрах на растяжку: $|B| = 11$.
• Общее количество человек на тренажёрах на гибкость: $|C| = 13$.
• Количество человек, занимавшихся на силовых тренажёрах и на растяжку (пересечение множеств): $|A \cap B| = 5$.
• Количество человек, занимавшихся на силовых тренажёрах и на гибкость: $|A \cap C| = 9$.
• Количество человек, занимавшихся на гибкость и на растяжку: $|B \cap C| = 4$.

Требуется найти количество посетителей, которые занимались на всех трёх видах тренажёров, то есть $|A \cap B \cap C|$. Обозначим это искомое значение через $x$.

Проанализируем предоставленные данные. Количество людей, которые занимались на тренажёрах на растяжку или на гибкость (или на обоих видах), можно найти, вычтя из общего числа посетителей тех, кто занимался только на силовых тренажёрах:

$|B \cup C| = |A \cup B \cup C| - |A \setminus (B \cup C)| = 22 - 10 = 12$ человек.

С другой стороны, количество людей в объединении множеств $B$ и $C$ можно вычислить по формуле включений-исключений:

$|B \cup C| = |B| + |C| - |B \cap C| = 11 + 13 - 4 = 20$ человек.

В результате мы получаем противоречие: $12 = 20$. Это означает, что исходные данные в условии задачи являются несовместимыми.

К такому же выводу можно прийти, если выразить размеры всех семи непересекающихся областей диаграммы Венна через $x$ и сложить их. Сумма всех частей должна быть равна 22.

• Занимались только на силовых: $10$ (дано).
• Занимались на всех трёх видах: $|A \cap B \cap C| = x$.
• Занимались только на силовых и на растяжку: $|(A \cap B) \setminus C| = |A \cap B| - x = 5-x$.
• Занимались только на силовых и на гибкость: $|(A \cap C) \setminus B| = |A \cap C| - x = 9-x$.
• Занимались только на растяжку и на гибкость: $|(B \cap C) \setminus A| = |B \cap C| - x = 4-x$.
• Занимались только на растяжку: $|B \setminus (A \cup C)| = |B| - |(A \cap B) \setminus C| - |(B \cap C) \setminus A| - x = 11 - (5-x) - (4-x) - x = 11 - 9 + x = 2+x$.
• Занимались только на гибкость: $|C \setminus (A \cup B)| = |C| - |(A \cap C) \setminus B| - |(B \cap C) \setminus A| - x = 13 - (9-x) - (4-x) - x = 13 - 13 + x = x$.

Теперь сложим все части:

$|A \cup B \cup C| = 10 + (2+x) + x + (5-x) + (9-x) + (4-x) + x$

Сгруппируем числовые и переменные члены:

$22 = (10 + 2 + 5 + 9 + 4) + (x + x - x - x - x + x)$

$22 = 30 + 0 \cdot x$

$22 = 30$

Это неверное равенство окончательно доказывает, что условие задачи содержит внутреннее противоречие. Следовательно, найти однозначный ответ на поставленный вопрос невозможно.

Ответ: Задача не имеет решения из-за противоречивых исходных данных.