Номер 1, страница 75 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

1. 80 человек ежедневно добираются на работу общественным транспортом: на автобусе, трамвае, метро (рис. 5). Каждый из них пользуется хотя бы одним видом транспорта. 32 человека используют метро, 42 — трамвай, 54 — автобус. 31 человек из них использует метро и трамвай, 41 — метро и автобус, 32 — трамвай и автобус. Сколько человек пользуются всеми тремя видами транспорта, чтобы приехать на работу?

Рис. 5

$80 = 54 + 32 + 42 - (31 + 41 + 32) + X$

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для трех множеств. Обозначим множества людей, пользующихся разными видами транспорта, в соответствии с диаграммой на рисунке:

• $A$ – множество людей, пользующихся автобусом.
• $M$ – множество людей, пользующихся метро.
• $T$ – множество людей, пользующихся трамваем.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Общее количество человек, пользующихся хотя бы одним видом транспорта: $|A \cup M \cup T| = 80$.
• Количество людей, пользующихся автобусом: $|A| = 54$.
• Количество людей, пользующихся метро: $|M| = 32$.
• Количество людей, пользующихся трамваем: $|T| = 42$.
• Количество людей, пользующихся метро и трамваем: $|M \cap T| = 31$.
• Количество людей, пользующихся метро и автобусом: $|M \cap A| = 41$.
• Количество людей, пользующихся трамваем и автобусом: $|T \cap A| = 32$.

Необходимо найти количество человек, которые пользуются всеми тремя видами транспорта, то есть величину пересечения всех трех множеств $|A \cap M \cap T|$. На диаграмме эта область обозначена как $X$.

Воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств:

$|A \cup M \cup T| = |A| + |M| + |T| - (|A \cap M| + |A \cap T| + |M \cap T|) + |A \cap M \cap T|$

Подставим известные значения в формулу, обозначив искомую величину $|A \cap M \cap T|$ как $X$:

$80 = 54 + 32 + 42 - (41 + 32 + 31) + X$

Выполним вычисления по шагам. Сначала вычислим сумму людей, пользующихся каждым видом транспорта:

$54 + 32 + 42 = 128$

Затем вычислим сумму людей, пользующихся различными парами транспорта:

$41 + 32 + 31 = 104$

Теперь подставим эти результаты обратно в уравнение:

$80 = 128 - 104 + X$

Упростим правую часть уравнения:

$80 = 24 + X$

Наконец, выразим и найдем $X$:

$X = 80 - 24$

$X = 56$

Сколько человек пользуются всеми тремя видами транспорта, чтобы приехать на работу? Ответ: 56.