Номер 36, страница 206 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

36. Можно ли на рёбрах куба расставить числа от 1 до 12 (по одному числу на каждом ребре) так, чтобы сумма чисел на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины, была одной и той же для каждой вершины?

Предположим, что такая расстановка чисел на рёбрах куба возможна. Пусть $S$ — это одинаковая для всех вершин сумма чисел на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины.

Сначала найдём сумму всех чисел, которые необходимо разместить на 12 рёбрах куба. Это сумма натуральных чисел от 1 до 12:

$$ S_{общая} = 1 + 2 + \dots + 12 = \frac{12 \times (1 + 12)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 78 $$

У куба имеется 8 вершин. Если мы просуммируем значения $S$ для каждой из 8 вершин, то общая сумма составит $8 \times S$.

При этом важно учесть, что каждое ребро соединяет ровно две вершины. Это означает, что при суммировании по всем вершинам, число, присвоенное каждому ребру, будет учтено ровно дважды (по одному разу для каждой из двух вершин, которые это ребро соединяет). Следовательно, сумма всех вершинных сумм равна удвоенной сумме всех чисел на рёбрах.

На основании этого можно составить следующее уравнение:

$$ 8 \times S = 2 \times S_{общая} $$

Подставим известное значение $S_{общая}$:

$$ 8S = 2 \times 78 $$

$$ 8S = 156 $$

Теперь выразим $S$ из этого уравнения:

$$ S = \frac{156}{8} = \frac{39}{2} = 19.5 $$

По условию, на рёбрах расставлены целые числа. Сумма трёх целых чисел всегда является целым числом. Однако, мы получили, что сумма $S$ должна быть равна $19.5$, что не является целым числом. Возникшее противоречие означает, что наше первоначальное предположение о возможности такой расстановки неверно.

Можно ли так расставить числа? Ответ: Нет, такая расстановка невозможна. Требуемая сумма чисел в каждой вершине должна была бы равняться $S = \frac{156}{8} = 19\frac{1}{2}$, что не является целым числом. Целая часть этой дроби равна 19.