Номер 37, страница 126, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

В.37. Сформулируйте основное свойство дроби. Где оно применяется?

В.37

Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби, умножить (или разделить) на одно и то же не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

Основное свойство дроби применяют при сокращении дробей и приведении дробей к общему знаменателю.

Сформулируйте основное свойство дроби.

Основное свойство дроби заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится равная ей дробь.

Математически это можно записать так: для любой дроби $\frac{a}{b}$ и любого числа $c$, где $b \neq 0$ и $c \neq 0$, справедливы равенства:
$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$
и
$\frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c}$ (при условии, что $a$ и $b$ делятся на $c$ без остатка).

Например, дробь $\frac{1}{2}$ равна дроби $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$. И наоборот, дробь $\frac{8}{10}$ равна дроби $\frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$. Величина дроби при этом не изменяется.

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

Где оно применяется?

Основное свойство дроби является фундаментальным инструментом для выполнения различных операций с дробями и широко применяется в математике. Вот основные области его применения:

1. Сокращение дробей. Это упрощение дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий делитель (чаще всего на наибольший общий делитель - НОД). Это делает дробь более простой для восприятия и дальнейших вычислений.
Пример: Сократим дробь $\frac{18}{24}$. Наибольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.
$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

2. Приведение дробей к общему знаменателю. Это необходимое действие для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Дроби приводятся к новому, общему для них знаменателю (обычно к наименьшему общему кратному - НОК) путем умножения числителя и знаменателя каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
Пример: Сложим дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4 равно 12.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
Теперь можно выполнить сложение: $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$

3. Сравнение дробей. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их удобнее всего привести к общему знаменателю. После этого сравниваются их числители: та дробь больше, у которой числитель больше.
Пример: Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{9}$. Общий знаменатель - 18.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}$
Так как $15 > 14$, то $\frac{15}{18} > \frac{14}{18}$, а значит $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.

4. Упрощение рациональных выражений в алгебре. В алгебре основное свойство дроби применяется для упрощения дробей, содержащих переменные.
Пример: Упростим выражение $\frac{x^2 - 4}{x+2}$ при $x \neq -2$.
$\frac{x^2 - 4}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$

Ответ: Основное свойство дроби применяется для сокращения дробей, приведения дробей к общему знаменателю (при сложении, вычитании и сравнении), а также для упрощения рациональных выражений в алгебре.