Номер 21.12, страница 96 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.12. Какие из следующих утверждений верны:

а) $I \subset R;$

б) $N \subset Z;$

в) $Z \subset Q;$

г) $N \subset R;$

д) $R \subset Z?$

Для определения верности утверждений, вспомним определения основных числовых множеств и отношения между ними. Знак $\subset$ обозначает, что одно множество является подмножеством другого (включено в него).

• $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел: $\{1, 2, 3, \dots\}$.
• $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел: $\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.
• $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$.
• $I$ — множество иррациональных чисел, то есть действительных чисел, которые не являются рациональными (например, $\sqrt{2}, \pi$).
• Символы $\mathcal{R}$ и $\mathbb{R}$, использованные в задании, оба обозначают множество действительных (вещественных) чисел. Оно является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел ($\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup I$).

Проанализируем каждое утверждение:

а) $I \subset \mathcal{R}$

Это утверждение гласит, что множество иррациональных чисел ($I$) является подмножеством множества действительных чисел ($\mathcal{R}$). По определению, множество действительных чисел состоит из объединения рациональных и иррациональных чисел. Следовательно, каждый элемент множества иррациональных чисел является также и элементом множества действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: верно.

б) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

Это утверждение говорит, что множество натуральных чисел ($\mathbb{N}$) является подмножеством множества целых чисел ($\mathbb{Z}$). Множество целых чисел включает все натуральные числа, ноль и отрицательные целые числа. Так как каждый элемент множества $\mathbb{N}$ (например, 1, 2, 3) также является элементом множества $\mathbb{Z}$, утверждение верно.
Ответ: верно.

в) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

Утверждается, что множество целых чисел ($\mathbb{Z}$) является подмножеством множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$). Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$. Поскольку это соответствует определению рационального числа (дробь с целым числителем и натуральным знаменателем), то каждое целое число является рациональным. Утверждение верно.
Ответ: верно.

г) $\mathbb{N} \subset \mathcal{R}$

Утверждается, что множество натуральных чисел ($\mathbb{N}$) является подмножеством множества действительных чисел ($\mathcal{R}$). Поскольку каждое натуральное число является целым ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$), каждое целое — рациональным ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$), а каждое рациональное — действительным ($\mathbb{Q} \subset \mathcal{R}$), то по свойству транзитивности включения множеств, каждое натуральное число является действительным. Утверждение верно.
Ответ: верно.

д) $\mathbb{R} \subset \mathbb{Z}$

Это утверждение гласит, что множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) является подмножеством множества целых чисел ($\mathbb{Z}$). Это означало бы, что любое действительное число является целым. Это очевидно неверно, так как существуют действительные числа, которые не являются целыми. Например, $0.5 \in \mathbb{R}$, но $0.5 \notin \mathbb{Z}$; или $\pi \in \mathbb{R}$, но $\pi \notin \mathbb{Z}$. Верно обратное включение: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$. Следовательно, данное утверждение ложно.
Ответ: неверно.