Номер 10.14, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.14. Углы 1 и 2 — смежные. Найдите, чему равен угол между биссектрисами этих углов, если:

а) $\angle 1 = 60^{\circ}$;б) $\angle 2 = 140^{\circ}$.

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180°$.

Пусть у нас есть два смежных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. Тогда их сумма составляет $180°$:$\angle 1 + \angle 2 = 180°$.

Биссектриса делит угол на две равные части. Угол между биссектрисами смежных углов будет равен сумме половины первого угла и половины второго угла.

Пусть искомый угол между биссектрисами будет $\alpha$. Тогда:$\alpha = \frac{\angle 1}{2} + \frac{\angle 2}{2} = \frac{\angle 1 + \angle 2}{2}$

Подставим значение суммы смежных углов:$\alpha = \frac{180°}{2} = 90°$

Таким образом, угол между биссектрисами смежных углов всегда равен $90°$, независимо от величины самих углов. Проверим это на конкретных примерах.

а) Дан $\angle 1 = 60°$.
Так как $\angle 1$ и $\angle 2$ смежные, то $\angle 1 + \angle 2 = 180°$.
Найдем $\angle 2$:$\angle 2 = 180° - \angle 1 = 180° - 60° = 120°$.
Биссектриса угла $\angle 1$ образует угол, равный $\frac{\angle 1}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$.
Биссектриса угла $\angle 2$ образует угол, равный $\frac{\angle 2}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$.
Угол между биссектрисами равен сумме этих двух углов:$30° + 60° = 90°$.
Ответ: 90°.

б) Дан $\angle 2 = 140°$.
Так как $\angle 1$ и $\angle 2$ смежные, то $\angle 1 + \angle 2 = 180°$.
Найдем $\angle 1$:$\angle 1 = 180° - \angle 2 = 180° - 140° = 40°$.
Биссектриса угла $\angle 1$ образует угол, равный $\frac{\angle 1}{2} = \frac{40°}{2} = 20°$.
Биссектриса угла $\angle 2$ образует угол, равный $\frac{\angle 2}{2} = \frac{140°}{2} = 70°$.
Угол между биссектрисами равен сумме этих двух углов:$20° + 70° = 90°$.
Ответ: 90°.